Смешанное произведение трех векторов

 

Смешанным произведением трех векторов называется произведение, которое получается скалярным умножением векторного произведения двух векторов на третий вектор, то есть произведение вида или иначе .

Свойства смешанного произведения

1. = .

2. .

3. .

4. .

Если три вектора заданы своими координатами в ортонормированном базисе как , то

.

 

Применение смешанного произведения

1. Объем параллелепипеда, построенного на векторах , V_парал.=| |.

2. Объем пирамиды, построенной на векторах , V_пир.= | |.

3. Условие компланарности трех векторов =0.

___________

 

2.4.1. Найти объем пирамиды, вершинами которой служат точки А(1; 2; 3); В(0; -1; 1); С(2; 5; 2); Д(3; 0; -2).

Ответ: 4.

2.4.2. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах .

Ответ: 24.

2.4.3. Доказать, что векторы компланарны.
Ответ:

2.4.4. Доказать, что точки А(2; -1; -2); В(1; 2; 1); С(2; 3; 0); Д(5; 0; 6) лежат в одной плоскости.

Ответ: не лежат.

_______________

 

2.4.5. Задана пирамида с координатами своих вершин: А(2; 0; 0); В(0; 3; 0); С(0; 0; 6) и Д(2; 3; 8). Вычислить ее объем и высоту, опущенную на грань АВС.

Ответ: 14; .

2.4.6. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах .

Ответ: 51.

2.4.7. Проверить компланарность векторов .

Ответ: компланарны.