Кривые второго порядка на плоскости

 

Уравнение вида А х ²+2В ху +С у ²+2D х +2Е у +F=0 называется общим уравнением кривой второго порядка. Коэффициенты уравнения – действительные числа, причем хотя бы одно из чисел А, В, С отлично от нуля. Такое уравнение определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу.

В табл. 3 приведены уравнения кривых второго порядка и определен смысл входящих в них коэффициентов.

 

Таблица 3

№ п/п	Определение кривой	Вид уравнения	Примечание
	Эллипс – множество всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис.2)	- каноническое уравнение эллипса	2 а – большая ось; 2 b – малая ось 2 с –межфокус-ное; расстояние с2=а2-b2; - эксцентриси-тет, 0< e < 1. Т. А1, А2, В1, В2 – вершины эллипса
№ п/п	Определение кривой	Вид уравнения	Примечание
	Гипербола – множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис.3)	- каноническое уравнение гиперболы	2 а –действи-тельная ось; 2 b –мнимая ось; 2 с –меж-фокусное расстояние с2=а2+b2; - эксцентри-ситет, e > 1. Точки А1, А2 – вершины гиперболы. Прямые - асимптоты
3.	Парабола - множество точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.	у 2=2 px – каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси ОХ     x2 =2 pу – каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси ОY (рис.4б)	F - фокус, ди-ректриса. Точка (0; 0) – вершина параболы (рис.3а)   F - фокус, ди-ректриса. Точка (0; 0) – вершина параболы (рис.4б)

 

______________

 

3.2.1. Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса . Построить эллипс.

Ответ: ±3; 0; 0, 6.

3.2.2. Составить каноническое уравнение эллипса, у которого а) большая полуось равна 10, эксцентриситет равен 0, 8; б) малая полуось равна , расстояние между фокусами равно 8.

Ответ: ; .

3.2.3. Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит через точки М(2; ) и В(0; 2). Написать его уравнение. Построить кривую.

Ответ: .

3.2.4. Построить гиперболу х ²-4 у ²=16 и ее асимптоты. Найти фокусы, эксцентриситет, угол между асимптотами.

Ответ: .

3.2.5. Написать каноническое уравнение гиперболы, зная, что: а) расстояние между фокусами равно 10, между вершинами равно 8; б) вещественная полуось равна , эксцентриситет равен .

Ответ:

3.2.6. Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса .

Ответ: .

3.2.7. Написать уравнения прямых, проходящих через левую вершину гиперболы 1 а) параллельно прямой 3 х -2 у +6=0; б) перпендикулярно асимптоте, образующей острый угол с осью ОХ.

Ответ: а)3 х -2 у +6Ö 5=0, б) .

3.2.8. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку А(2; 4) и симметрична относительно оси ОХ. Написать ее уравнение.

Ответ: у ²=8 х.

3.2.9. Написать каноническое уравнение эллипса, зная, что его большая полуось а =12, эксцентриситет равен 0, 5. Найти расстояние между фокусами.

Ответ: ; 2 с =12.

3.2.10. Определить полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет эллипса 3 х ²+4 у ²-12=0.

Ответ: а =2; b =Ö 3; с =1; e =0, 5.

3.2.11. Написать уравнение прямой, проходящей через нижний правый фокус эллипса под углом 45° к оси ОХ.

Ответ: у = х -3.

3.2.12. Определить фокусы, вершины, эксцентриситет и асимптоты гиперболы . Сделать эскиз.

Ответ: F₁(0; -5); F₂(0; 5), .

3.2.13. Написать каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точки А(2; 1), В(-4; Ö 7).

Ответ: .

3.2.14. Написать уравнение прямой, проходящей через левую вершину гиперболы и отсекающую от оси ОY отрезок 5 единиц.

Ответ: .

3.2.15. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку А(1; -2) и симметрична относительно оси ОY. Написать уравнение параболы, найти координаты фокуса и уравнение директрисы.

Ответ: у = -2 х ²; F(0; -1/8); у =1/8.