Прямая и плоскость

 

Различным способам задания прямой в пространстве соответствуют разные виды ее уравнений, основные из которых представлены в таблице 5.

Таблица 5

№ п/п	Вид уравнения	Смысл входящих в уравнение коэффициентов	Примечание
	Канонические уравнения прямой	(x 0, y 0, z 0) – координаты точки М0, лежащей на прямой; m, n, p – координаты вектора, параллельного прямой	Вектор называется направля-ющим вектором прямой
	Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки	(x 1, y 1, z 1), (x 2, y 2, z 2) – координаты двух заданных точек	Уравнение является обобще-нием уравнения прямой на плоскости
	Уравнения прямой как линии пересечения двух плоскостей	- уравнение одной плоскости; - уравнение второй плоскости	Уравнение иначе назы-вается общими уравне-ниями прямой в простран-стве

 

Пусть заданы две прямые своими каноническими уравнениями:

l ₁:

l ₂: .

Угол между прямыми определяется как .

Условие перпендикулярности прямых:

=0.

Условие параллельности прямых:

.

Пусть плоскость a задана уравнением А х +В у +С z +D=0, а прямая l – своими каноническими уравнениями , тогда угол между прямой и плоскостью определяется как

.

Условие параллельности прямой и плоскости А m +B n +C p =0.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

.

_____________

 

3.5.1. Написать канонические уравнения прямой, образующей с осями координат углы и проходящей через точку М₀(-1; 0; 5).

Ответ: .

3.5.2. Написать канонические уравнения перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость 4 х - у +2 z -3=0.

Ответ: .

3.5.3. Написать уравнения прямой, проходящей через точку М₀(2; -3; -4) параллельно прямой: .

Ответ: .

3.5.4. Написать уравнения прямой, проходящей через точку М₀(2; 1; -1) перпендикулярно плоскости х-у+z+ 1=0.

Ответ: .

3.5.5. Найти угол между прямыми:

и .

Ответ: p/3.

3.5.6. Доказать, что прямые и параллельны.

 

3.5.7. Написать уравнение плоскости, проходящей через пару параллельных прямых и .

Ответ: 3 х -2 у -3=0.

3.5.8. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(1; -2; 3) и прямую: .

Ответ: 7 х +5 у -9 z +30=0.

3.5.9. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости 3 х +3 у - z +1=0.

Ответ: 6 х -5 у +3 z -11=0.

3.5.10. Найти точку пересечения с плоскостью 2 х +3 у -2 z +2=0.

Ответ: (3; 2; 7).

3.5.11. Найти угол между прямой и плоскостью 6 х -3 у +2 z =0.

Ответ: .

________________

 

3.5.12. Написать уравнения прямой, проходящей через точки А(-1; 2; 3) и В(2; 6; -2). Найти ее направляющие косинусы.

Ответ:

.

3.5.13. Написать уравнения прямой, проходящей через точку (-4; 3; 0) параллельно прямой .

Ответ: .

3.5.14. Найти угол между прямыми и .

Ответ: .

 

3.5.15. Найти расстояние между прямыми и .

Ответ: .

3.5.16. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку (3; 4; 0).

Ответ: х -2 у + z +5=0.

3.5.17. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости 2 х +3 у - z =4.

Ответ: 8 х -5 у + z -11=0.

3.5.18. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямые и .

Ответ: х +2 у -2 z =1.