Уравнения касательной и нормали к плоской кривой

 

Пусть дана функция y=f(x). К графику этой функции (рис.5) проведена касательная в точке М₀(х ₀; у ₀). Угловой коэффициент касательной в точке М₀ равен значению производной функции f(x) в точке х ₀, то есть k=tgj=f′ (x ₀ ).

Уравнение касательной, проходящей

через точку М₀(х ₀; у ₀), имеет вид:

у-у ₀= f′ (x ₀ )(х-х ₀ ).

Прямая, перпендикулярная к

касательной и проходящая через

точку М₀, называется нормалью.

Уравнение нормали в точке М₀(х ₀; у ₀):

у-у ₀= (х-х ₀ ).

_________________

4.4.1. Написать уравнения касательной и нормали к данным кривым в заданной точке:

а) у=х ²-4 х +3, х ₀=-1; б) у = х ² е ^-х, х ₀=1;

в) у=-х ²+6 х -5

в точках пересечения с осью ОY.

Ответ: а) у =-6 х +2; б) ; в) у =6 х- 5;

; у=-е+е+ ; -5.

4.4.2. В каких точках касательные к кривой параллельны прямой у =2 х -1?

Ответ: (3; -2); (-1; 2/3).

4.4.3. Найти площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции в точке х ₀=-1.

Ответ: 4, 5.

4.4.4. Через точку М(1; 1) походят две касательные к графику функции f(x)= 2 x ²+4 x +3. Найти сумму абсцисс точек касания.

Ответ: 2.

4.4.5. Написать уравнения касательных к окружности х ²+ у ²+4 х -4 у +3-0 в точках пересечения ее с осью ОХ. Построить окружность и касательные.

Ответ: 2 у =- х -3; 2 у = х +1.

4.4.6. Найти точки пересечения нормали гиперболы х ²- у ²=9, проведенной из точки М(5; 4) с асимптотами.

Ответ: ; (40; 40).

_____________

 

4.4.7. Написать уравнения касательной и нормали к кривым:

а) у=х ³, х ₀= -2; б) у =2 х-х ² в точках пересечения кривой с осью ОХ;

в) у =2 х ²-5, у=х ²-3 х +5 в точках пересечения этих кривых.

Ответ: а) у= 12 х +24; б) у =2 х; у= -2 х +4;

; ; ;

в) у =8 х -16; у= ; у =-20 х -100; у = ; у = х -2; у = - х +2; у = -13 х -65; у = .

4.4.8. В каких точках касательные к кривой перпендикулярны к прямой у =2 х -5?

Ответ: (0; -1); (-2; 3).

4.4.9. Написать уравнения касательных к астроиде х ^2/3+ у ^2/3= а ^2/3 в точках пересечения ее с прямой у=х.

Ответ: .