Точки перегиба. Асимптоты

1. Найти область определения функции; точки разрыва.

2. Найти асимптоты графика функции.

3. Определить четность, нечетность, периодичность функции.

4. Установить промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции.

5. Определить интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции.

6. Найти точки пересечения графика с осями координат.

7. При необходимости вычислить значения функции в дополнительных точках.

___________________

4.7.1. Найти промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба:

а) у=х ⁵-5 х -6; б) у=(х- 5 ) ^5/3+2;

в) у=хе ^х; г) у=х ⁴-8 х ³+24 х ².

Ответ: а) (-∞; 0) – выпуклая; (0; ∞) – вогнутая;

б) р(5; 2) – точка перегиба;

в) (-∞; -2) – выпуклая; (-2; ∞) – вогнутая;

г) точек перегиба нет.

4.7.2. Найти асимптоты графика функций:

а) ; б) ;

в) ; г) y=-xarctgx.

Ответ: а) х =-2, у =3; б) х =1, х = -6, у =0; в) у=х -6;

г)

4.7.3. Исследовать функции и построить их графики:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Ответ: а) у _min(2)=3; асимптоты у = х, х =0;

б) у _min(2Ö 3)=3Ö 3, у _max(-2Ö 3)= -3Ö 3; (0; 0) – точка перегиба; х =±2, у=х – асимптоты;

в) у _max(е ²)=2/ е, у =0 – асимптоты;

г) у _max(1)= е.

4.7.4. Найти промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба:

а) ; б) ;

в) y=ln|x|; г) .

Ответ: а) (2; -8/3); б) ; в) точек перегиба нет;

г) .

4.7.8. Найти асимптоты графиков функций:

а) ; б) y=x-arctgx;

в) .

Ответ: а) х= 0; у =1; б) ; в) у= 2 х; х =0.

4.7.9. Исследовать функции и построить графики:

а) ; б) .

Ответ: а) у=-х – наклонная асимптота; б) у _min(6)=13, 5; (0; 0) – точка перегиба; х =2; у = х +4 – асимптоты.