Дифференцирование функций

Основные формулы дифференцирования

 

1) с′ =0, где с – const; 2) (хⁿ)′ = nx^n-1;

3) (a^x)′ = a^xlna; 4) (e^x)′ = e^x ;

5) (lg_ax)′ = ; 6) (lnx)′ = ;

7) (sinx)′ = cosx; 8) (cosx)′ =- sinx;

9) (tgx)′ = ; 10) (ctgx)′ = ;

11) (arcsinx)′ = ; 12) (arccosx)′ = ;

13) (arctgx)′ = ; 14) (arcctgx)′ = .

Основные правила дифференцирования

 

Пусть u=u(x), v=v(x). Тогда

1) (u(x) ± v(x))′ =u′ (x) ± v′ (x);

2) (u(x) v(x))′ =u′ (x)v(x)+u(x) v′ (x);

3) ;

4) (cf(x))′ = cf ′ (x).

Правило дифференцирования сложной функции y=f(u), если u=u(x), состоит (f(u(x))) ′ = f′ (u)u′ (x).

4.3.1. Найти производные следующих функций:

1) f(x)= 3 x ²-5 x +1; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) y=x²sinx; 12) ;

13) ; 14) ;

15) y=xarcsinx; 16) ;

17) ; 18) ;

19) y=xlnx; 20) ;

21) ; 22) y=(sinx)log₅x;

23) y= 2^x+10^x ; 24) ;

25) y=e^xcosx; 26) ;

27) y=(x ²-10 x +5)¹⁰ ; 28) ;

29) ; 30) ;

31) y=sin 2 x+cos 5 x; 32) y=tgx ² +ctgx ³ ;

33) y=sin ² x- 3 cos ³ x; 34) y=tg ³5 x;

35) y= 3 sin ² ( 2 x +5); 36) ;

37) ; 38) y=ln( 1-2 x);

39) ; 40) ;

41) ; 42) y=(sinx)^cosx ;

43) y=(x+ 5 ) ^2/x ; 44) y=(x ²+1 )^sinx ;

 

4.3.2. Найти производные у ′ _х неявных функций:

1) х ²-5 ху +8 у ³=5; 2) ;

3) l ^{2 x} + l ^{3 y} -5 xy =0; 4) l^xsiny+l^ycosx= p;

5) y-x=arctgy; 6) .

______________________

 

4.3.3. Найти производные следующих функций:

1) y=x ⁴-4 x ³+0, 5 x ²-2 x +3; 2) ;

3) ; 4) y=(x ²+5 x)sinx;

5) ; 6) y=( 2 x+ 5 ) ⁷ ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) y=ln( 5-2 x ² );

11) y=lncos 5 x; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) y=sin ²3 x+sin 9 x ² ;

17) ; 18) .

 

 

4.3.4. Найти производные у ′ _х неявных функций:

1) у ²+ х ²= lnxy; 2) xsiny+ysinx= 0.