Кривизна плоской кривой

 

Пусть даны две функции переменной величины , рассматриваемые для одних и тех же значений t. Эти уравнения на плоскости задают некоторую кривую. Так как переменная t называется параметром, то и приведенная система называется параметрическим уравнением кривой.

Если , то , а .

Пусть теперь некоторая кривая задана в пространстве R₃ своими параметрическими уравнениями: . Тогда каждому значению t можно поставить в соответствие вектор , который называется векторной функцией скалярного аргумента t. Линия с, описываемая концом радиуса – вектора , называется годографом.

Если рассматривать как траекторию движения материальной точки в пространстве, то законы изменения скорости и ускорения движения этой точки имеют вид:

Пусть задана плоская кривая уравнением y=f(x). Величина определяет ее кривизну.

Радиус кривизны есть . Для параметрически заданной кривой .

________________

 

4.8.1. Найти , если x=arccost, y=arcsint.

Ответ: .

4.8.2. Исключить параметр t из уравнений x=acost, y=bsint. Построить кривую.

Ответ: .

4.8.3. Траектория движения материальной точки задана уравнением . Найти закон изменения скорости движения. Построить траекторию и векторы скорости при t =0; t =1.

Ответ: .

4.8.4. Определить кривизну кривой при t =1.

Ответ: .

 

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Бугров, Я.С. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии: учеб. для вузов./ Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – М.: Дрофа, 2003.

2. Бугров, Я.С. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление: учеб. для инж.-техн. спец. вузов./ Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – М.: Дрофа, 2005.

3. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике / Д.Т. Письменный. – 2-е изд. – М.: Астрис-пресс, 2003. – Ч.1.

4. Минорский, В.П. Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие для втузов/ В.П. Минорский. – М: физ.мат.лит., 2004.

5. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. /П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Оникс 21 век; Мир и образование, 2005. – Ч.1.