Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

 

Функция f(x) называется возрастающей в точке х ₀, если в некоторой e - окрестности этой точки f(x ₀ -h)< f(x₀)< f(x ₀ +h).

Убывающей – если f(x ₀ +h)< f(x₀)< f(x ₀ -h), где 0< h < e.

Функция f(x) называется возрастающей на отрезке [a, b], если для любых х ₁ и х ₂ этого отрезка из неравенства х ₁> х ₂ следует неравенство f(х ₁ ) > f(х ₂ ). Если же из неравенства х ₁> х ₂ следует, что f(х ₁ ) < f(х ₂ ), то функция f(x) – убывающая на отрезке [a, b].

Можно сформулировать достаточные признаки возрастания и убывания функции y=f(x)

Если y' > 0 для всех х Î [a, b], то функция возрастает на [a, b]; при y' < 0 для х Î [a, b], то функция на [a, b] убывает.

Функция f(x) может иметь экстремум лишь в тех точках, в которых f'(x) =0 или не существует. Такие точки называются критическими, или стационарными, или подозрительными на экстремум. Равенство нулю первой производной данной функции является необходимым условием существования экстремума.

В качестве достаточного условия существования экстремума в критической точке х ₀ можно принять смену знака первой производной при переходе через критическую точку, при этом, если знак меняется с + на -, то в точке х ₀ – максимум, если с – на +, то в точке х ₀ – минимум.

Если производная y ' знак не меняет при переходе через точку, подозрительную на экстремум, то экстремума в этой точке нет.

Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функций у=f(x) на отрезке[a, b] необходимо найти критические точки, принадлежащие [a, b]. Вычислить значения функции в этих критических точках и на концах отрезка. Из всех найденных значений выбираем наибольшее и наименьшее.

__________________

 

4.6.1. Найти интервалы монотонности следующих функций:

а) у= 2-3 х + х ³; б) у=хе ^-х;

в) у=(х -2 ) ² (х+ 2 ); г) y=ln(x ²-2 x +4).

Ответ: а) (-∞; -1)È (1; ∞) – возрастает; (-1; 1) – убывает;

б) (-∞; 1) – возрастает; (1; ∞) – убывает;

в) (-∞; -1)È (1; ∞) – возрастает; (-1; 1) – убывает;

г) (-∞; 1) – убывает; (1; ∞) – возрастает;

4.6.2. Найти экстремумы функций:

а) ; б) y=ln(x ²+1 );

в) ; г) у=(х- 1 ) ^6/7.

Ответ: а) у _min= y( 0 )= 0; y _max= ;

б) у _min= y( 0 )= 0;

в) у _max= y( 1 )= ; y _min= ;

г) у _min= y( 1 )= 0.

4.6.3. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на заданном отрезке:

а) у=х ⁴+2 х ²+5, х Î [-2, 2]; б) , х Î [-6, 8];

в) , х Î [0, 4]; г) y =2 tgx-tg ² x, х Î [0, π /2].

Ответ: а) 29, 5; б) 10; 6; в) 3/5; -1; г) у _наиб=1.

_______________

 

4.6.4. Найти интервалы монотонности следующих функций:

а) у=( 2 -х)(х+ 1 ) ²; б) у=х ³-6 х +5;

в) у=х+е ^-х; г) y=xlnx.

Ответ: а) (-∞; -1)È (1; ∞) – убывает; (-1; 1) – возрастает;

б) (-∞; -2)È (2; ∞) – возрастает; (-2; 2) – убывает;

в) (-∞; 0) – возрастает; (0; ∞) – убывает;

г) (0; 1/ е) – убывает; (1/ е; ∞) – возрастает.

4.6.5. Найти экстремумы функций:

а) ; б) .

Ответ: а) y _max= y (11/4)=13/4; б) y _min= y(e)=e.

4.6.6. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на отрезке:

а) , х Î [0, 4]; б) , х Î [0, 1];

в) , х Î [0, 1].

Ответ: а) 8; 0; б) 1; 3/5; в) π /4; 0.