Плоскость в пространстве

 

Любое уравнение первой степени в трехмерном пространстве определяет какую-либо плоскость.

Разным способам задания плоскости соответствуют различные виды уравнений (табл. 4.)

Таблица 4

№ п/п	Вид уравнения	Смысл входящих в уравнение коэффициентов	Примечание
	Уравнение плоскости, проходя-щей через данную точку пер-пендикулярно заданному век-тору А(х-х 0)+В(у-у 0)+С(z-z 0)=0	(x 0, y 0, z 0) – координаты заданной точки; АВС – координаты заданного вектора	Вектор N(А, В, С) называется нормальным векторомплоскости
	Общее уравнение плоскости А х +В у +С z +D=0	D=-A x 0-B y 0-C z 0, АВС – нормальный вектор плоскости; х 0, y 0, z 0 – координаты данной точки	Это уравнение получается из уравнения (1) эле-ментарными преобразованиями
	Уравнение плоскости, проходя-щей через три заданные точки	М1(х 1, y 1, z 1), М2(х 2, y 2, z 2), М3(х 3, y 3, z 3) – три точки, заданные своими координатами	Точки М1, М2, М3 не должны лежать на одной прямой
	Уравнение плоскости в отрезках на осях	а, b, c – отрезки, отсекаемые плоскостью от осей координат	аbc ≠ 0

 

Пусть даны две плоскости a₁ и a₂:

a₁: А₁ х +В₁ у +С₁ z +D₁=0,

a₂: А₂ х +В₂ у +С₂ z +D₂=0.

 

Угол между двумя плоскостями определяется как .

Условие перпендикулярности двух плоскостей:

=0, то есть =0.

Условие параллельности двух плоскостей:

или .

Расстояние от точки до плоскости:

,

где А х +В у +С z +D=0 – заданная плоскость; М(x ₀, y ₀, z ₀) – данная точка.

_________________

 

3.4.1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(-1; 2; 3) перпендикулярно вектору .

Ответ: х -2 у -3 z +14=0.

3.4.2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М₁(2; 3; -1), М₂(1; 5; 3) перпендикулярно плоскости 3 х - у +3 z +15=0.

Ответ: 2 х +3 у - z -14=0.

3.4.3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(-2; 7; 3) параллельно плоскости х -4 у +5 z +1=0.

Ответ: х -4 у +5 z +15=0.

3.4.4. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(2; -3; 1) параллельно векторам .

Ответ: х + у - z +2=0.

3.4.5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(2; 2; -2) перпендикулярно линии пересечения плоскостей 3 х -2 у - z +1=0 и х - у - z =0.

Ответ: х +2 у - z -8=0.

3.4.6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М₁(3; -1; 2), М₂(4; -1; -1), М₃(2; 0; 2).

Ответ: 3 х +3 у + z -8=0.

3.4.7. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось ОZ и точку М₀(1; -2; 1).

Ответ: 2 х + у =0.

3.4.8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(2; 3; -4) параллельно плоскости YOZ.

Ответ: х -2=0.

3.4.9. Найти расстояние от точки М₁(2; -1; -1) до плоскости 16 х- 12 у +15 z -4=0.

Ответ: 1.

3.4.10. Найти угол между плоскостями х + у -1=0 и 2 х - у + z +1=0.

Ответ: .

_______________

 

3.4.11. Даны точки М₁(0; -1; 3), М₂(1; 3; 5). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₁ перпендикулярно вектору .

Ответ: х+ 4 у +2 z -2=0.

3.4.12. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки (0; -5; 0) и (0; 0; 2) перпендикулярно плоскости х+ 5 у +2 z -10=0.

Ответ: 2 у -5 z +10=0.

3.4.13. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(-2; 1; 4) параллельно плоскости 3 х+ 2 у -7 z +8=0.

Ответ: 3 х+ 2 у -7 z +32=0.

3.4.14. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(-2; 3; 6) перпендикулярно плоскостям 2 х+ 3 у -2 z -4=0, 3 х+ 5 у + z =0.

Ответ: 13 х- 8 у + z +44=0.

3.4.15. Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки М₁(1; -1; 0), М₂(2; 1; -3), М₃(-1; 0; 1).

Ответ: х + у + z =0.

3.4.16. Найти угол между плоскостями х+ 2 у -3 z +4=0, 2 х+ 3 у + z +8=0.

Ответ: .

3.4.17. Найти расстояние от точки М₀(1; 3; -2) до плоскости 2 х- 3 у -4 z +12=0.

Ответ: .