Компенсация импульса и момента импульса

Импульс модельного кристалла из N частиц даётся формулой

,

где m _i – массы частиц, - их скорости до компенсации импульса. Скорость центра инерции кристалла связана с импульсом соотношением

.

Вычитание этой скорости из скоростей всех частиц останавливает собственное движение кристалла:

.

Предположим, что кристалл только вращается как твердое тело вокруг какой-нибудь оси, и больше частицы никуда не движутся (для упрощения выражений). Это вращение харак­теризуется постоянной угловой скоростью , связанной со скоростями частиц соотноше­нием

.

Здесь - скорости и координаты i -ой частицы. Момент импульса этого кристалла рас­считывается по формуле

,

где N – количество частиц. Двойное векторное произведение можно преобразовать по формуле

,

тогда получится, что

.

Это векторное уравнение эквивалентно системе из трех уравнений для компонент векто­ров и :

.

Значения компонент векторов с верхними и нижними индексами одинаковы – положение индексов указывает на ко- и контравариантность векторов. Отметим также, что слагаемые вида

для симметричного относительно оси вращения кристалла равны нулю, так что и для реальных кристаллов должны быть близки к нулю.

Таким образом, если для кристалла с произвольными скоростями частиц рассчитан мо­мент импульса , то может быть, решением записанной системы уравнений, получена соответствующая угловая скорость . Если теперь получить новые скорости частиц по формуле

,

то момент импульса кристалла станет равным нулю. При этом изменение самого импуль­са будет иметь вид

,

где M – масса кристалла, - радиус-вектор центра инерции. Очевидно, что если отсчи­тывать координаты от центра инерции, то , и импульс не изменится. Кроме того, перед остановкой вращения кристалла нужно обнулить суммарный импульс, тогда ось вращения обязательно будет проходить через центр инерции, что подразумевается в формуле.