Радонівський образ двовимірної функції у прямокутній системі координат

Отримання зображення структури речовини внутрішніх тканин орґанізму технічними засобами уможливило відкриттям в кінці XIX ст. Іваном Пулюєм властивостей невидимих Х-променів поширюватися крізь непрозорі середовища, поглинатися цими середовищами та впливати на фоточутливі матеріали (фотопластинки). При застосуванні Х-променів у медицині різна густина речовин, що входять до складу тканин організму, спричиняє різне поглинання цими речовинами Х- променів, різний вплив їх на фотоматеріал та формування зображення внутрішньої структури на фотопластинці. Проте недоліком такого способу отримання зображень (методи рентґеноскопії, рентґеноґрафії, флюороґрафії) є те, що ці зображення відображають сумарне поглинання випромінювання всіма структурами, які знаходяться на шляху проходження променів. Зображення є „тінню” на фотопластинці від всіх кісток, м’яких тканин, рідин, газів тощо. Накладання „тіней” від структур, що знаходяться у різних шарах, ускладнює ідентифікацію нормальних і патологічних утворень Більше того, неможливо (або важко) розрізнити структури, що знаходяться поруч. Для уможливлення розрізнення двох суміжних областей їх коефіцієнти поглинання повинні достатньо відрізнятися, а для зменшення ефекту накладання тіней необхідні спеціальні заходи. Як результат, використання Х-променів з часом виявилися не придатними для швидкого, високопрогностичного обстеження через їх недостатню роздільну здатність.

Для підвищення роздільної здатності Х- променевих зображень використовують хімічно-радіологічні методи контрастування. Проте, введення контрастувальних речовин є небезпечним для здоров'я. Інший підхід до підвищення роздільної здатності базовано на відомому в оптиці ефекті фокусування світлових променів. Цим було уможливлено отримання пошарових Х- променевих зображень — томограм, а методи отримання таких томограм називають класичною томографією.

В класичній томографії для забезпечення фокусування Х-променя під час проектування на заданій площині використано взаємне переміщення Х-трубки та фотопластинки, рис. 2.1[8]. При цьому зображення від інших шарів досліджуваного біооб’єкта знаходилися поза фокусом і, тому, розмивались. Фокусування на заданій площині досягалося вибором належної інтенсивності випромінювання та швидкостей переміщень. Такий оптико-механічний метод отримання зображення називається реконструктивною томографією з поздовжнім (longitude, англ.) скануванням (класичною томографією). Крім поздовжнього сканування використовувалося поперечне (transverse, англ.) сканування. При цьому об’єкт обстеження та фотопластинка оберталися навколо осі[9].

Рис. 2.1. Схема оптико-механічної поздовжньої томоґрафії

Оптико-механічна томоґрафія є ефективною для об'єктів зі значними різницями у розмірах їх складових. Проте їй властиві складність конструкції, недостатня швидкодія та недостатня роздільна просторова здатність (розрізнення малих об’єктів).

На відміну від оптико-механічної томоґрафії, комп’ютерна томоґрафія уможливлює отримання зображення окремих шарів (площин, зрізів, січень) досліджуваного біооб’єкту з належною швидкодією та якістю. Принциповим для комп’ютерної томоґрафії є використання обчислень, а не механічних переміщень для реконструкції зображення за результатами проектування.

Крім терміну “комп’ютерна томоґрафія” (в англомовній літературі: “Сomputed Тomography” — CT, “Сomputed Аxial Тomography” — САТ, “Сomputed Аxial Тransverse scanning” — “CAT scanning”) в літературі вживаються також терміни " машинна", " реконструктивна обчислювальна", " комп'ютеризована" томоґрафія.

Теоретичні основи комп’ютерної томоґрафії ґрунтуються на праці Й. Радона " Про визначення функцій за їх інтеґралами вздовж деяких многовидів", яку він опублікував у 1917 р. [1]. В рамках цієї роботи геометрична інтерпретація сканування біооб’єкту та визначення проекцій під час комп'ютерної томографії наведена на рис. 2.2. Допускається, що двовимірна функція адекватно задає розподіл густини речовини по перерізу площиною досліджуваного біооб’єкта. Проекції (інтеграли) цієї функції по прямих лініях L називаються Радонівським образом R _f (s, φ) біооб’єкта, а визначення його — перетворенням Радона. На практиці проектування легше виконати по паралельних до осі ординат лініях, отриманих зсувом на s через Δ s по осі абсцис Х, для кожного кута φ повороту на кут Δ φ прямокутної системи координат: . Таким чином, результатом дискретного перетвореня Радона є матриця N× N чисел. Отримати дискретний Радонівський образ функції означає, що потрібно виконати обчислення значень N× N означених інтегралів по лініях. Значно складнішою є задача визначення значень функції за заданим її Радонівським образом — задача реконструкції функції.