Зворотнє проектування

Рис. 4.1

Оскільки первинною процедурою томографії є експериментальне визначення радонівського образу зображення перерізу об’єкту (проектування цього перерізу) то логічно поставити задачу побудови самого зображення перерізу за його проекцією, тобто — виконання зворотнього проектування. Для побудови методу зворотнього проектування проаналізуймо спочатку двовимірну функцію , значенння якої при переміщенні вздовж будь-якої прямої, паралельної до осі , не змінюються, рис.4.1 [1]. Значення функції змінюються лише при переході вздовж осі від однієї з цих паралельних прямих до іншої. Тоді ці значення є деякою функцією однієї змінної s (на осі ). Якщо вісь складає з віссю x кут , то з рівності маємо:

 

. (4. 1)

 

Співвідношення (4.1) є виразом правила, за яким функції однієї змінної ставиться у відповідність функція двох змінних для кожного кута , під яким ця одновимірна функція „розтягується” по площині (x, y).

Побудуймо вираз, у якому враховано те, що для кожного кута за правилом (4.1) “розтягується” деяка одновимірна функція. Позначмо отриману функцію . Якщо підсумувати з усередненням в кожній точці (x, y) значення цих “розтягнутих” функцій, то при нескінченно малому зменшенні інтервалів між точками отримаємо нову функцію

 

, (4. 2)

 

яка на відміну від функції є сукупністю функцій .

Оскільки радонівський образ , отриманий під даним кутом , є функцією однієї змінної s, тому кожному радонівському образу, отриманому при даному куті , можна за правилом (4.1) поставити у відповідність деяку двовимірну функцію координат (x, y), а саме

 

. (4. 3)

 

Переріз площиною цієї функції описується функцією . Функцію називають зворотньою проекцією. Така проекція містить дані лише для одного кута .

За аналоґією з (4.2) означується сумарна зворотня проекція

 

, (4. 4)

 

(сумарне зображення). Сумарна проекція є функцією двох ґеометричних координат x та y і містить проекційні дані для всіх кутів , тому повинен існувати зв’язок між сумарною проекцією і відновлюваним зображенням . Для побудови залежності між та знайдемо значення , шляхом оберненого перетворення Фур’є від залежності, заданої теоремою про центральний переріз (див. (3.5)):

 

. (4. 5)

Підставивши (4.5) в (4.4), отримаємо

 

, (4. 6)

 

і, для меж інтеґрування , , отримаємо:

 

. (4. 7)

 

Подамо сумарну проекцію через двовимірне обернене перетворення Фур’є її спектру в декартовій і полярній системі координат:

 

. (4. 8)

 

Порівнявши (4.7) і (4.8), бачимо, що для ,

 

, (4. 9)

 

або, в координатах ,

 

. (4. 10)

 

Це означає, що за Фур’є образом сумарної проекції отримано Фур’є образ томоґрафічного зображення. Вираз

 

(4. 11)

 

є модулем характеристики передачі фільтра, а

 

(4. 12)

 

є імпульсною характеристикою цього фільтра (як обернене Фур’є-перетворення від частотної характеристики). Тоді зображення визначається за згорткою сумарної проекції з імпульсною характеристикою фільтра:

 

. (4. 13)

 

Формула (4.13) використовується для реконструкції методом r -фільтрації[13].