Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Зворотнє проектування




Рис. 4.1

Оскільки первинною процедурою томографії є експериментальне визначення радонівського образу зображення перерізу об’єкту (проектування цього перерізу) то логічно поставити задачу побудови самого зображення перерізу за його проекцією, тобто — виконання зворотнього проектування. Для побудови методу зворотнього проектування проаналізуймо спочатку двовимірну функцію , значенння якої при переміщенні вздовж будь-якої прямої, паралельної до осі , не змінюються, рис.4.1 [1]. Значення функції змінюються лише при переході вздовж осі від однієї з цих паралельних прямих до іншої. Тоді ці значення є деякою функцією однієї змінної s (на осі ). Якщо вісь складає з віссю x кут , то з рівності маємо:

 

. (4. 1)

 

Співвідношення (4.1) є виразом правила, за яким функції однієї змінної ставиться у відповідність функція двох змінних для кожного кута , під яким ця одновимірна функція „розтягується” по площині (x,y).

Побудуймо вираз, у якому враховано те, що для кожного кута за правилом (4.1) “розтягується” деяка одновимірна функція. Позначмо отриману функцію . Якщо підсумувати з усередненням в кожній точці (x, y) значення цих “розтягнутих” функцій, то при нескінченно малому зменшенні інтервалів між точками отримаємо нову функцію

 

, (4. 2)

 

яка на відміну від функції є сукупністю функцій .

Оскільки радонівський образ , отриманий під даним кутом , є функцією однієї змінної s, тому кожному радонівському образу, отриманому при даному куті , можна за правилом (4.1) поставити у відповідність деяку двовимірну функцію координат (x, y), а саме

 

. (4. 3)

 

Переріз площиною цієї функції описується функцією . Функцію називають зворотньою проекцією. Така проекція містить дані лише для одного кута .

За аналоґією з (4.2) означується сумарна зворотня проекція

 

, (4. 4)

 

(сумарне зображення). Сумарна проекція є функцією двох ґеометричних координат x та y і містить проекційні дані для всіх кутів , тому повинен існувати зв’язок між сумарною проекцією і відновлюваним зображенням . Для побудови залежності між та знайдемо значення , шляхом оберненого перетворення Фур’є від залежності, заданої теоремою про центральний переріз (див. (3.5)):

 

. (4. 5)

Підставивши (4.5) в (4.4), отримаємо

 

, (4. 6)

 

і, для меж інтеґрування , , отримаємо:

 

. (4. 7 )

 

Подамо сумарну проекцію через двовимірне обернене перетворення Фур’є її спектру в декартовій і полярній системі координат:

 

. (4. 8)

 

Порівнявши (4.7) і (4.8), бачимо, що для ,

 

, (4. 9)

 

або, в координатах ,

 

. (4. 10)

 

Це означає, що за Фур’є образом сумарної проекції отримано Фур’є образ томоґрафічного зображення. Вираз

 

(4. 11)

 

є модулем характеристики передачі фільтра, а

 

(4. 12)

 

є імпульсною характеристикою цього фільтра (як обернене Фур’є-перетворення від частотної характеристики). Тоді зображення визначається за згорткою сумарної проекції з імпульсною характеристикою фільтра:

 

. (4. 13)

 

Формула (4.13) використовується для реконструкції методом r-фільтрації[13].

 







Дата добавления: 2014-12-06; просмотров: 362. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2020 год . (0.004 сек.) русская версия | украинская версия