Застосуваня розкладу у скінченні ряди

 

Ошибка! Ошибка связи. Рис. 4.2

В методах, які ґрунтуються на розкладі в скінченні ряди, вважається, що зображення складається з окремих квадратних елементів зображення (ЕЗ). В області зображення вводиться декартова сітка таким чином, щоб ЕЗ покрили весь переріз, у якому реконструюється зображення (рис.4.2).

ЕЗ нумеруються певним способом, наприклад від 1 (ЕЗ у верхньому лівому кутку) до n (ЕЗ у нижньому правому кутку). Вважається, що функція поглинання Х-випромінювання визначається розподілом густини досліджуваного біооб’єкта і набирає постійного значення всередині j – го ЕЗ, . Довжина шляху i –го променя, вздовж якого поширюється Х-випромінювання, по j –му ЕЗ — , , .

Вимірювана величина сумарного поглинання i –го променя, що позначається через , у граничному наближенні рівна інтеґралу невідомої функції f_j поглинання вздовж цього променя. При використанні дискретної моделі цей лінійний інтеґрал апроксимується скінченним рядом. Таким чином отримаємо систему лінійних рівнянь

 

(4. 22)

 

і задача реконструкції зображення зводиться до розв'язування цієї системи рівнянь. На практиці дана система повинна мати дуже велику розмірність (n та m порядку 10⁵) та надзвичайну розрідженість (біооб’єкт не є однорідним), тому буває несумісною і її розв'язок знаходиться за допомогою ітераційних алґоритмів. Розглянемо один з них — алґебраїчний алґоритм реконструкції (ААР1).

 

1) Початкове наближення вибирають довільно (за апріорно відомими даними);

2) k –та ітерація

 

, (4. 23)

 

де стовпець , — скалярний добуток, а — евклідова норма, промені перебираються циклічно, тобто

 

. (4. 24)

 

Ще один алґоритм, що за способом побудови відноситься до методів інтеґральних перетворень, а за ітеративним характером і способом представлення зображення — до алґоритмів розкладу в ряд, був запропонований Герменом і Лентом [5].

Функція задається на області W. При на (i +1)-му кроці процедури алґебраїчної реконструкції за оцінкою на попередньому етапі будується " зображення" за таким правилом

 

(4. 25)

 

де , , — проекція функції , а початкове наближення вибирають довільно, — довжина відрізка прямої, що знаходиться в області W.