Математична модель томоґрафії

Математичний, фізичний та технічний аспекти комп’ютерної томоґрафії. Фізичні підстави до побудови рівняння томоґрафії. Функція розподілу енергії опромінення біооб’єкту, фізичне поле в його середовищі, оператор взаємодії променя та середовища, оператор спостереження променя та функція розподілу енергії поза об’єктом. Рівняння Больцмана та принципи його спрощення. Основне рівняння Х-променевої томоґрафії.

Реконструкція плоских зображень за їх поперечними проекціями (тобто, задача томографії) має три аспекти:

a) математичний — встановлення теоретичної можливості отримання значень функції-ядра проективного оператора за відомими значеннями проекцій деякої відомої функції (тобто, встановлення існування розв’язку основної задачі томографії) та побудова методу реконструкції (отримання проекційних даних через застосування інтеґральної ґеометрії Радона та реконструкції зображення внутрішніх структур об’єкта);

b) фізичний — обґрунтування припущень, які уможливлюють побудову конструктивної математичної моделі, тобто такого математичного об’єкту, що розв’язок основної задачі томографії, сформульованої на його основі, існує;

c) технічний — побудова засобів генерування потрібних полів, засобів відбору проективних даних та реалізації алґоритмів реконструкції.

Без врахування водночас всіх трьох аспектів при проектуванні комп’ютерних томоґрафів виконати якісну реконструкцію зображень неможливо.

Інтеґральна ґеометрія Радона, яка є математичною основою методу реконструкції, уможливлює визначення розподілу речовини по площині за заданим набором поперечних проекцій при нескінченній кількості ракурсів цих проекцій. З математичної точки зору множина проекцій є сукупністю лінійних інтеґралів, наприклад, по прямих лініях, які проходять через досліджуваний біооб'єкт під різними кутами: . Цю математичну абстракцію необхідно узгодити з фізичними реаліями: взаємодія енерґії сиґналу з речовиною носить нелінійний характер; промені не колiмовані (замість променя — „смуга” певної ширини або конус), енергія поширюється не по прямій, а по кривій лінії; характеристики поля нестаціонарні в часі та неоднорідні у просторі та ін.

Для встановлення можливості врахування наведених фізичних проблем розглянемо детальніше загальну схему фізичних процесів, що відбуваються при отриманні проекційних даних.