Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Поняття про зворотні задачі математичної фізики





Рис. 6.1 Схема впливу біооб’єкту на фізичне поле

Представимо біооб’єкт у фізичному полі схемою „вхід-вихід” (рис. 6.1), де f — фізичне поле до об’кту, „вхід” (його математична модель — функція, або вектор), p — поле після об’єкту, ”вихід” (математична модель — функція, або вектор), T — об’єкт (математична модель — оператор, матриця). Такій схемі адекватною є математична модель — операторне рівняння . Залежно від того, що у цьому виразі є невідомим, а що — відомим, виникають задачі:

1) відомі характеристика f поля на „вході” біооб’єкту та його функціональна характеристика T, потрібно знайти характеристику p поля на „виході” біооб’єкта;

2) ідентифікації, відомі „вхід” f, „вихід” p, потрібно знайти характеристику T;

3) відомо „вихід” p та характеристику T, потрібно знайти „вхід” f — обернена задача, її розв’язок знаходиться за формулою:

 

. (6. 1)

 

Основна задача томографії за схемою рис. 6.1 набирає вигляду

 

, (6. 2)

 

де – границя перерізу, – елемент перерізу. Інтеґральний оператор T характеризує схему сканування, джерела випромінювання та взаємодію випромінювання з речовиною біооб’єкта: . Для конкретного томоґрафа він є відомим. Основна задача томоґрафії полягає в тому, щоб за відомим радонівським образом знайти характеристики біооб’єкта , тобто за поданою вище класифікацією, ця задача відноситься до класу обернених задач.

Для розв’язування задач даного класу потрібно знайти обернений оператор і тоді, за відомим радонівським образом , можна отримати характеристики біооб’єкта :

 

. (6. 3)

 

З математичної точки зору, основна задача комп'ютерної томографії — реконструкція деякої функції в тривимірному просторі Â 3 за відомими значеннями її інтеґралів вздовж певних прямих ліній або площин. В проблемі реконструкції функції виділяються три аспекти. По-перше, потрібно забезпечити достатню степінь представлення досліджуваного перерізу об'єкту отриманими проекційними даними. По-друге, бажано забезпечити малу чутливість процесу реконструкції до похибок проекційних даних. І, нарешті, необхідно побудувати метод реконструкції [17].

Рис. 6.2

Основна задача томоґрафії, як і більшість обернених задач, належить до класу некоректних задач, тому при її розв’язанні існує ряд математичних проблем [11]. Розглянемо гільбертові простори F та P, і T — лінійний обмежений оператор, що діє з F в P (рис. 6.2). Задача полягає в тому, щоб, знаючи , знайти , для якого . Така задача називається коректно поставленою за Адмаром (коротше — коректною), якщо для всякого вона має єдиний розв’язок, що неперервно залежить від p. В протилежному випадку задача називається некоректно поставленою, або некоректною [14, стор. 97].

Для некоректно поставленої задачі обернений оператор або не існує, або означений не на всьому просторі P, або не є неперервним. Складність розв’язку некоректних задач обумовлена тим, що розв’язок рівняння , якщо він існує, не обов’язково є розв’язком рівняння , де близьке до p. Рівняння, які описують некоректні задачі або взагалі не мають розв'язків, або мають неоднозначні чи нестійкі розв'язки. За умови наявності у проекційних даних похибок випадкового характеру, які можуть бути спричинені нестабільністю параметрів досліджуваного біооб’єкта, квантовою природою Х-випромiнювання, за допомогою якого формується зображення, похибками апаратури, розв'язок задачі реконструкції буде нестійким.

 







Дата добавления: 2014-12-06; просмотров: 611. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...


Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...


Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Разновидности сальников для насосов и правильный уход за ними   Сальники, используемые в насосном оборудовании, служат для герметизации пространства образованного кожухом и рабочим валом, выходящим через корпус наружу...

Дренирование желчных протоков Показаниями к дренированию желчных протоков являются декомпрессия на фоне внутрипротоковой гипертензии, интраоперационная холангиография, контроль за динамикой восстановления пассажа желчи в 12-перстную кишку...

Деятельность сестер милосердия общин Красного Креста ярко проявилась в период Тритоны – интервалы, в которых содержится три тона. К тритонам относятся увеличенная кварта (ув.4) и уменьшенная квинта (ум.5). Их можно построить на ступенях натурального и гармонического мажора и минора.  ...

Влияние первой русской революции 1905-1907 гг. на Казахстан. Революция в России (1905-1907 гг.), дала первый толчок политическому пробуждению трудящихся Казахстана, развитию национально-освободительного рабочего движения против гнета. В Казахстане, находившемся далеко от политических центров Российской империи...

Виды сухожильных швов После выделения культи сухожилия и эвакуации гематомы приступают к восстановлению целостности сухожилия...

КОНСТРУКЦИЯ КОЛЕСНОЙ ПАРЫ ВАГОНА Тип колёсной пары определяется типом оси и диаметром колес. Согласно ГОСТ 4835-2006* устанавливаются типы колесных пар для грузовых вагонов с осями РУ1Ш и РВ2Ш и колесами диаметром по кругу катания 957 мм. Номинальный диаметр колеса – 950 мм...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия