Поняття про зворотні задачі математичної фізики

Рис. 6.1 Схема впливу біооб’єкту на фізичне поле

Представимо біооб’єкт у фізичному полі схемою „вхід-вихід” (рис. 6.1), де f — фізичне поле до об’кту, „вхід” (його математична модель — функція, або вектор), p — поле після об’єкту,”вихід” (математична модель — функція, або вектор), T — об’єкт (математична модель — оператор, матриця). Такій схемі адекватною є математична модель — операторне рівняння . Залежно від того, що у цьому виразі є невідомим, а що — відомим, виникають задачі:

1) відомі характеристика f поля на „вході” біооб’єкту та його функціональна характеристика T, потрібно знайти характеристику p поля на „виході” біооб’єкта;

2) ідентифікації, відомі „вхід” f, „вихід” p, потрібно знайти характеристику T;

3) відомо „вихід” p та характеристику T, потрібно знайти „вхід” f — обернена задача, її розв’язок знаходиться за формулою:

. (6. 1)

Основна задача томографії за схемою рис. 6.1 набирає вигляду

, (6. 2)

де – границя перерізу, – елемент перерізу. Інтеґральний оператор T характеризує схему сканування, джерела випромінювання та взаємодію випромінювання з речовиною біооб’єкта: . Для конкретного томоґрафа він є відомим. Основна задача томоґрафії полягає в тому, щоб за відомим радонівським образом знайти характеристики біооб’єкта , тобто за поданою вище класифікацією, ця задача відноситься до класу обернених задач.

Для розв’язування задач даного класу потрібно знайти обернений оператор і тоді, за відомим радонівським образом , можна отримати характеристики біооб’єкта :

. (6. 3)

З математичної точки зору, основна задача комп'ютерної томографії — реконструкція деякої функції в тривимірному просторі ³ за відомими значеннями її інтеґралів вздовж певних прямих ліній або площин. В проблемі реконструкції функції виділяються три аспекти. По-перше, потрібно забезпечити достатню степінь представлення досліджуваного перерізу об'єкту отриманими проекційними даними. По-друге, бажано забезпечити малу чутливість процесу реконструкції до похибок проекційних даних. І, нарешті, необхідно побудувати метод реконструкції [17].

Рис. 6.2

Основна задача томоґрафії, як і більшість обернених задач, належить до класу некоректних задач, тому при її розв’язанні існує ряд математичних проблем [11]. Розглянемо гільбертові простори F та P, і T — лінійний обмежений оператор, що діє з F в P (рис. 6.2). Задача полягає в тому, щоб, знаючи , знайти , для якого . Така задача називається коректно поставленою за Адмаром (коротше — коректною), якщо для всякого вона має єдиний розв’язок, що неперервно залежить від p. В протилежному випадку задача називається некоректно поставленою, або некоректною [14, стор. 97].

Для некоректно поставленої задачі обернений оператор або не існує, або означений не на всьому просторі P, або не є неперервним. Складність розв’язку некоректних задач обумовлена тим, що розв’язок рівняння , якщо він існує, не обов’язково є розв’язком рівняння , де близьке до p. Рівняння, які описують некоректні задачі або взагалі не мають розв'язків, або мають неоднозначні чи нестійкі розв'язки. За умови наявності у проекційних даних похибок випадкового характеру, які можуть бути спричинені нестабільністю параметрів досліджуваного біооб’єкта, квантовою природою Х-випромiнювання, за допомогою якого формується зображення, похибками апаратури, розв'язок задачі реконструкції буде нестійким.