Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Поняття про зворотні задачі математичної фізики




Рис. 6.1 Схема впливу біооб’єкту на фізичне поле

Представимо біооб’єкт у фізичному полі схемою „вхід-вихід” (рис. 6.1), де f — фізичне поле до об’кту, „вхід” (його математична модель — функція, або вектор), p — поле після об’єкту,”вихід” (математична модель — функція, або вектор), T — об’єкт (математична модель — оператор, матриця). Такій схемі адекватною є математична модель — операторне рівняння . Залежно від того, що у цьому виразі є невідомим, а що — відомим, виникають задачі:

1) відомі характеристика f поля на „вході” біооб’єкту та його функціональна характеристика T, потрібно знайти характеристику p поля на „виході” біооб’єкта;

2) ідентифікації, відомі „вхід” f, „вихід” p, потрібно знайти характеристику T;

3) відомо „вихід” p та характеристику T, потрібно знайти „вхід” f — обернена задача, її розв’язок знаходиться за формулою:

 

. (6. 1)

 

Основна задача томографії за схемою рис. 6.1 набирає вигляду

 

, (6. 2)

 

де – границя перерізу, – елемент перерізу. Інтеґральний оператор T характеризує схему сканування, джерела випромінювання та взаємодію випромінювання з речовиною біооб’єкта: . Для конкретного томоґрафа він є відомим. Основна задача томоґрафії полягає в тому, щоб за відомим радонівським образом знайти характеристики біооб’єкта , тобто за поданою вище класифікацією, ця задача відноситься до класу обернених задач.

Для розв’язування задач даного класу потрібно знайти обернений оператор і тоді, за відомим радонівським образом , можна отримати характеристики біооб’єкта :

 

. (6. 3)

 

З математичної точки зору, основна задача комп'ютерної томографії — реконструкція деякої функції в тривимірному просторі Â3 за відомими значеннями її інтеґралів вздовж певних прямих ліній або площин. В проблемі реконструкції функції виділяються три аспекти. По-перше, потрібно забезпечити достатню степінь представлення досліджуваного перерізу об'єкту отриманими проекційними даними. По-друге, бажано забезпечити малу чутливість процесу реконструкції до похибок проекційних даних. І, нарешті, необхідно побудувати метод реконструкції [17].

Рис. 6.2

Основна задача томоґрафії, як і більшість обернених задач, належить до класу некоректних задач, тому при її розв’язанні існує ряд математичних проблем [11]. Розглянемо гільбертові простори F та P, і T — лінійний обмежений оператор, що діє з F в P (рис. 6.2). Задача полягає в тому, щоб, знаючи , знайти , для якого . Така задача називається коректно поставленою за Адмаром (коротше — коректною), якщо для всякого вона має єдиний розв’язок, що неперервно залежить від p. В протилежному випадку задача називається некоректно поставленою, або некоректною [14, стор. 97].

Для некоректно поставленої задачі обернений оператор або не існує, або означений не на всьому просторі P, або не є неперервним. Складність розв’язку некоректних задач обумовлена тим, що розв’язок рівняння , якщо він існує, не обов’язково є розв’язком рівняння , де близьке до p. Рівняння, які описують некоректні задачі або взагалі не мають розв'язків, або мають неоднозначні чи нестійкі розв'язки. За умови наявності у проекційних даних похибок випадкового характеру, які можуть бути спричинені нестабільністю параметрів досліджуваного біооб’єкта, квантовою природою Х-випромiнювання, за допомогою якого формується зображення, похибками апаратури, розв'язок задачі реконструкції буде нестійким.

 







Дата добавления: 2014-12-06; просмотров: 312. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2020 год . (0.001 сек.) русская версия | украинская версия