Загальна фізична схема томоґрафії

Позначимо через — функцію розподілу густин речовини всередині об’єкту (для деяких видів томоґрафії це потік поля яке використовується для дослідження об’єкта), а — функцію розподілу енерґії джерела поля. Вважатимемо, що ці функції належать до нормованих просторів: , [1], рис. 5.1.

Рис. 5.1

На основі фізичних принципів, законів (закон збереження, принцип Ферма тощо) та побудованих за ними рівнянь (рівняння „переносу” енергії) можна означити оператор S взаємодії енерґії джерела з речовиною об’єкта: , який пов’язує значення функції розподілу поля в кожній точці простору з функцією розподілу енергії джерела , тобто здійснює перехід (відображення) (рис. 5.1). Вираз оператора S залежить від типу фізичного поля (магнітне, електричне, електромагнітне, пружні коливання — ультразвук), від схеми експерименту, від властивостей самого біооб’єкту та характеру взаємодії фізичного поля з ним. Тому позначимо через такий оператор, що враховує розподіл в просторі певної характеристики об’єкту дослідження .

Оскільки в технічних системах джерела сиґналу, як правило, є штучно (технічно) створені і тому їх характеристики можна вважати відомими, то для знаходження значення функції розподілу поля у будь-якій точці простору необхідно знайти обернений по відношенню до оператор . Тоді

. (5.1)

Рис. 5.2

Визначення в кожній точці простору при реєстрації сиґналу (рис. 5.2) означимо оператором вимірювання U (або — оператором спостереження). Отримаємо вираз

 

, (5.2)

 

де — функція виміряного розподілу енерґії поза об’єктом, підставивши у який вираз (5.1), отримаємо:

. (5.3)

Вираз (5.3) є основим, фізичним рівняння томоґрафії.

Залежність розподілу енерґії поза об’єктом від функції розподілу f речовини усередині об’єкту) означимо оператором T. Тоді

 

, (5.4)

 

а рівняння (5.3) набере вигляду:

 

. (5.5)

 

Розв’язавши (5.5) відносно f, якщо існує обернений оператор , отримаємо функцію розподілу речовини усередині об’єкта. Отже, щоби розв’язати основну задачу томоґрафії (5.5), потрібно вибрати такий носій сиґналу (фізичне поле) , створити таку вимірювальну схему , та U, щоб оператор можна було б реалізувати технічними засобами.