Реґуляризація розв’язування зворотніх задач

Для отримання стійкого розв'язку необхідно застосувати реґуляризацiю процесу розв’язування. Метод реґуляризації полягає в заміні оператора наближеним оператором , який дав би можливість знаходити наближені розв’язки основного рівняння томоґрафії, стійкі до малих змін проекційних даних [11, 15].

В томоґрафі результати визначення радонівського образу перерізу завжди містять у собі похибку, спричинену як фізичними, так і чисто технічними причинами. Серед фізичних причин виникнення похибки слід відмітити квантову природу Х-випромінювання, ефекти розсіювання, поглинання фотонів в речовині біооб’єкта, теплові шуми апаратури. Технічні джерела похибки — дискретний характер проекційних даних, обмеження на потужність джерела випромінювання, низька ефективність детекторів Х-променів, неможливість забезпечити нескінченно вузький (колімований) пучок при скануванні та інші. Незважаючи на причину виникнення похибки, практично ми маємо виміряний радонівський образ у вигляді:

(6. 4)

Якщо тепер за таким радонівським образом реконструювати зображення, то результат реконструкції буде містити не тільки корисне зображення, але і перетворення від шумової складової , яке в певних випадках може сильно спотворити результат реконструкції. Для того, щоб стабілізувати розв’язок та зменшити вплив випадкових похибок на результат реконструкції, виконується реґуляризація. При цьому для досягнення максимальної якості зображення велике значення має вибір способу реґуляризацiї та виду реґуляризацiйних функцій.

Рис. 6.3

Посеред алґоритмів реконструкції найбільшу стійкість до похибок у початкових даних має алґоритм згортки та зворотнього проектування. Він вносить найменше спотворень у реконструкцію та простіший у реалізації. При реконструкції з використанням зворотнього проектування проводиться просторова фільтрація фільтром з частотною характеристикою, зображеною на рис. 6.3. Фізично такий фільтр реалізувати неможливо, крім того, він не передає постійної складової, а в області високих частот підсилює шумову складову.

Рис. 6.4

В існуючих системах реґуляризацiю проводять, як правило, шляхом помноження частотної характеристики фільтра на певний реґуляризацiйний множник . При цьому отримується згладжена характеристика фільтра (рис. 6.4), яку можна фізично реалізувати і яка дає кращі результати при “практичних” проекційних даних.

Обчислення за алґоритмом проводяться в два етапи: згортки та зворотнього проектування, що записуються формулами

, (6. 5)

, (6. 6)

де — імпульсна характеристика фільтра згортки, що знаходиться як зворотнє перетворення Фур’є від його частотної характеристики; — реґуляризаційний множник (у частотній області), який можна інтерпретувати як функцію частотного вікна;  — просторова частота. Розглянемо реалізацію реґуляризаційних множників.