Ошибка! Ошибка связи

Рис. 2. 2. Схема ґеометричної інтерпретації визначення Радонівського образу двовимірної функції

 

Розв’язання задачі реконструкції функції за заданими її інтегралами уможливив стрімкий розвиток області комп'ютерної томографії, який розпочався наприкінці ХХ ст., що пов'язано з проґресом твердотільних мікроелектронних технологій та обчислювальної техніки. Нові технічні засоби забезпечували можливість реалізації алґоритмів реконструкції на основі зворотнього перетворення Радона. З цього часу активізується виробництво нових комп'ютерних томоґрафів, розширюється область їх застосувань, покращуються технічні параметри. Так, перший томоґраф мав такі технічні характеристики: число ракурсів сканувань — 180, число ліній проектування у ракурсі — 160, реконструювалось зображення 80 на 80 елементів, кожен розміром 3 мм; томоґраф, створений у 1975 р. Йорком та Маршалом забезпечував реконструкцію для матриці 160 на 160 елементів, а створений Евентом в 1976 р. — вже 256 на 256 (сучасні томоґрафи мають такі характеристики: розмірність зображення — 1024 на 1024 елементів, просторову роздільну здатність 15 ліній на см, роздільну здатність за густиною кращу 1%, час реконструкції близько 1 с.

Залежно від конкретного виду томоґрафії (Х-променева, ЯМР тощо), значення функції розподілу густини мають різну фізичну природу (розмірність). Проте методи реконструкції зображень за проекційними даними мають багато спільного для різних видів томоґрафії. Алґоритми відновлення зображення плоского перерізу з експериментально отриманих його проекцій ґрунтуються на припущенні, що ці проекції є інтегралами по лініях від функції, що адекватно моделює розподіл речовини по площині перерізу. Степінь порушення цього припущення визначає інтенсивність артефактів, що проявляються на томоґрамі. Для Х-променевої комп’ютерної томоґрафії функція описує розподіл лінійного коефіцієнта ослаблення Х-випромінювання по площині. Значення цього коефіцієнта майже пропорційно залежать від густини речовини біооб’єкта, тому вважають, що Х-променеве томоґрафічне зображення відображає розподіл густини біооб’єкта в досліджуваній площині. При Х-променевій томоґрафії Х- промінь поширюється в основному прямолінійно, як зображено на рис. 2.2. Таким чином, цей рисунок відображає ґеометричну схему отримання проекційних даних, на якій ґрунтуються алґоритми реконструкції.

Пряма L, що задається параметрами s та , визначає лінії інтеґрування (“проекціювання”, “сканування”). Її нормальне рівняння в координатах має вигляд

, (2. 1)

де — кут між нормаллю прямої та віссю x, s — відстань між прямою та початком координат є параметрами, якими задається множина таких прямих (многовид).

Інтеграл від функції по множині прямимх L (по многовиду прямих ), є її радонівським образом :

, (2. 2)

де за допомогою дельта-функції задано многовид прямих . Фактично границі інтегрування не є безмежними (по всій координатній осі), тому що Х- промінь поглинається тільки в межах об’єкту обстеження. Формула (2.2) перетворення Радона функції є математичною моделлю експериментального отримання Х- променевих проекцій.

В Х-променевій томоґрафії радонівський образ представляє всю сукупність проекцій досліджуваного об'єкта (функцій від s) під різними кутами . Відбір однієї проекції ( для фіксованого кута ) може відбуватись або послідовно (для різних s), або паралельно (одночасно для всіх s). Після отримання проекції для одного кута (“аспекту”), кут змінюється (наприклад, система трубка-детектор повертається) і отримується нова проекція. Коли скануюча система здійснить поворот на 180°, то отримується повна сукупність проекцій для всіх кутів — радонівський образ.

Інший запис формули (2.2), що охоплює загальніший випадок інтеґрування по многовиду ліній (в тому числі й кривих), виглядає так

. (2. 3)

Повернемо систему координат на кут так, щоб вісь була паралельною до прямої L. Оскільки поворот системи координат у матричній формі має вигляд:

, (2. 4)

то

(2. 5)

Підставивши (2.5) в (2.2) та врахувавши, що , отримаємо основне рівняння томоґрафії

, (2. 6)

в якому інтеґрал одинарний, інтеґрування виконується по осі .

Основна задача томоґрафії полягає у реконструкції значень функції за її радонівським образом — інтеґралами вздовж многовиду прямих .