Решение матричных уравнений

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных х ₁, х ₂, …, х_n:

В соответствии с правилом умножения матриц рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в матричном виде

Ах = b,

где:

.

Матрица А, столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками - коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении, называется матрицей системы; матрица-столбец b, элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы. Матрица-столбец х, элементы которой - искомые неизвестные, называется решением системы.

Если матрица А – неособенная, то есть det A 0 то система уравнений или эквивалентное ей матричное уравнение, имеет единственное решение.

В самом деле, при условии det A 0 существует обратная матрица А ^-1. Умножая обе части уравнения на матрицу А ^-1 получим:

Эта формула дает решение уравнения и оно единственно.

Системы линейных уравнений удобно решать с помощью функции lsolve.

lsolve(А, b)

Возвращается вектор решения x такой, что Ах = b. Аргументы функции:

- А - квадратная, не сингулярная матрица.

- b - вектор, имеющий столько же рядов, сколько рядов в матрице А.

 

Задание 5. Решить систему уравнений матричным методом

Решение:

1. Представьте систему уравнений в виде матриц A и b. Для создания матриц подключите панель Матрицы, нажав на кнопку Панель векторов и матриц на панели Математика.

2. Создайте матрицу A, столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных. Для этого:

- введите A: =

- нажмите кнопку Матрица или Вектор на панели Матрицы

- в появившемся окне Вставка матрицы в строку ввода Строки (Rows) введите количество строк в матрице, а в строку ввода Колонки (Columns) – количество столбцов, в данном случае 3´ 3

- заполните элементы матрицы (рис. 6)

3. Аналогично создайте вектор b.

4. Вычислите определитель матрицы, для этого на панели Матрицы нажмите кнопку Эпитоп и введите имя матрицы A, введите знак =, чтобы получить результат. Так как определитель отличен от 0, то система уравнений будет иметь единственное решение.

5. Вычислите решение системы (1 способ):

- введите x: =

- введите A и нажмите кнопку Инверсия на панели Матрицы

- умножите на вектор b

- далее определите матрицу значений x, для этого введите x=

6. Вычислите решение системы (2 способ):

- присвойте x функцию lsolve с аргументами A и b

- определите матрицу значений x, для этого введите x=

7. Осуществите проверку решения с помощью выражения A× x – b, которое должно вернуть нули.

Рис. 6. Решение системы уравнений матричным методом