Применение операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений и их систем

Операционный метод позволяет просто решать линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, в правых частях которых стоят оригиналы. Оператор Лапласа применяется к обеим частям такого уравнения, после чего получается линейное алгебраическое уравнение относительно изображения неизвестной функции.

Пусть требуется найти частное решение линейного дифференциального уравнения, например, второго порядка с постоянными коэффициентами:

,

удовлетворяющее начальным условиям

.

(Для уравнений более высоких порядков решение аналогично.)

Будем считать, что искомая функция вместе с ее производными и функция являются оригиналами. Пусть . Используя теорему о дифференцировании оригинала, находим изображения производных, входящих в уравнение:

и

.

Далее, пусть для правой части уравнения изображением будет . Тогда, применяя преобразование Лапласа к обеим частям уравнения и пользуясь свойством линейности изображения, получим операторное (или изображающее) уравнение:

.

Это уравнение является линейным уравнением относительно неизвестной функции . Из него находим

.

Наконец по изображению восстанавливаем оригинал , который в силу теоремы единственности оригинала и является частным решением заданного уравнения.

Аналогично применяется операционный метод для решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.