Семестр. Занятие 1. Двойной интеграл

Занятие 1. Двойной интеграл

1. Записать уравнения границ области интегрирования. Построить область интегрирования. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле.

а) ; б) .

 

2. Построить область интегрирования, перейти к полярной системе координат и записать двойной интеграл в виде повторного:

а) а²£ х²+у²£ 4а²; х, у³ 0; б) а²£ х²+у²£ 2ау;

 

3. Вычислить повторные интегралы:

а) ;

б) (измените порядок интегрирования).

 

4. Вычислить двойной интеграл по заданной области D, подобрав подходящую систему координат.

а) ; б) ;

в) ;

д) г) ;

е) ;

ж)

5. Вычислить площадь, ограниченную линиями:

а)

 

Занятие 2. Тройной интеграл

 

1. Вычислить: ;

2. Вычислить объём, используя наиболее удобную систему координат:

а)Z=4–X2 2X+У=4 X³ 0, У=0 Z=0	б)Z=X2+У2 Z=4(X2+У2) У=Х; У2=Х	в)Х2+У2+Z2=4 e)X2+У2=1

3. Найти координаты центра масс:

б) тела с плотностью g(X; У; Z)=X²+У²+Z², заданного неравенствами а² £ х²+ у²+z² £ 4a²; у³ 0.

4.Найти моменты инерции:

а) однородного правильного треугольника относительно высоты;

в) однородного тела: 0 £ Rz£ Н (R– ) относительно OZ.

 

Занятие 3. Криволинейные и поверхностные интегралы 1 рода

 

1. Вычислить интеграл от заданной функции по заданному отрезку линии:

а) ;

б) ;

в) ;

2. Вычислить интеграл по части поверхности конуса , вырезанной цилиндром Х²+У²=2Х:

;

3. Вычислить площадь и момент инерции относительно OZ куска поверхности однородного параболоида 2Z=X²+У, отсечённого Z=1.

 

Занятие 4. КР «Кратные интегралы и теория поля». Работа состоит из 5 задач:

1.Расстановка пределов и вычисление двойного интеграла, включая задачи на применение в физике

2.Тройной интеграл. Вычисление объема, момента инерции, координат центра масс

3.Вычисление потока векторного поля по теореме Остроградского-Гаусса

4. Вычисление циркуляции векторного поля по теореме Стокса

5. Потенциальное векторное поле. Восстановление потенциала.

Занятие 5-6. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные, уравнения Бернулли

 

Проинтегрировать дифференциальные уравнения:

1). 2).

3). 4).

5). 6).

7) 8)

9) 10).

11).

12) 13)

14). 15).

16).

 

Занятие 7. Дифференциальные уравнения высших порядков

 

 

17.)

18).

19)

20).

21).

22).

23).

24).

25).

 

Занятие 8-9. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Для заданных дифференциальных уравнений выписать характеристические уравнения и базисные решения (фундаментальную систему решений), записать общее решение однородного уравнения, 2) для неоднородных уравнений найти частное решение методом неопределенныхкоэффициентов (комплексных амплитуд), записать решение неоднородного уравнения, 3) При заданных начальных условиях найдите частное решение.

1) 2) , 3)

4) 5) 6)

7) , 8)

9)

Занятие 10. Контрольная работа «Дифференциальные уравнения».

Работа состоит из 5 задач:

1.Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

2.Однородное дифференциальное уравнение 1 порядка

3.Линейное дифференциальное уравнение 1 порядка или уравнение Бернулли

4. Уравнение 2 порядка, допускающее понижение порядка

5. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами

Занятие 11. Комплексные числа: алгебраическая, тригонометрическая, показательная формы

1. Выполнить действия в алгебраической форме

 

2.Найти модуль и аргумент комплексных чисел, записать их в тригонометрической и показательной формах, построить на комплексной плоскости:

Z=4;	Z=− 3;	Z=− 4i;	Z=− 3–3i;
Z=− 1+3i;	Z=+ ;	Z= ;	Z= ;

 

3.Вычислить, используя тригонометрическую или показательную форму записи комплексного числа:

а) ; б) ; в) ; г) ; д); ;

4.Схематично построить множества точек на комплексной плоскости:

1) ; 2) ; 3) (0< t< 2p);

4) ; 5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 9) ; 10) .

 

 

Занятие 12. Элементарные функции комплексной переменной

1. Выделить действительную и мнимую части функции:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ;

2. Вычислить значения функций:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ; 10) ;

 

3.Найти интеграл по заданной кривой:

ℓ: tÎ [0; p]

 

Занятие 13. Понятие аналитической функции. Интегральная формула Коши.

1.Обосновав аналитичность, вычислить интеграл:

б) ;

 

2.Вычислить интегралы по интегральной формуле Коши:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

 

Занятие 14. Разложение функции в ряд Лорана. Вычет аналитической функции в особой точке. Вычисление вычета в особой точке типа полюс.

 

1. Разложить функцию в степенной ряд в окрестности указанных точек, указать область сходимости, найти вычеты в особых точках:

а) ; z₁=1+2i; z₂=1; z₃=¥;

б) ; z₁=1; в) ; z₁=2i; z₂=− 3+2i;

z₃ = ¥;

г) ; z₁=2; д) ; z₁= − 1;

2. Указать все особые точки и найти вычеты в этих точках:

1)	2) ;	3) ;
4)	5)	6);
7)	8)	; 9)
	10) ;	11) ;

Занятие 15. Преобразования Лапласа. Свойства.