Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Матрицы. Действия над матрицами. Решение матричных уравнений




1) Над матрицами и выполнить действия

2) Какими характеристиками должны обладать матрицы, чтобы их можно было перемножить? Сформулируйте правило умножения матриц. Выполните умножение матриц:

, ,

Ответы: , ,

3) Какими свойствами обладает операция умножения матриц: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивнось ? Применяя нужные свойства, выполните умножение матриц:

Ответ:

4) Выполнить операцию возведения в степень Ответ:

 

 

Занятие 16. Обратная матрица. Системы линейных уравнений: метод обратной матрицы, метод Крамера

1) Дайте определение обратной матрицы и условия ее существования.Для указанных матриц проверьте выполнение условий существования обратной матрицы и, если обратная матрица существует, то найдите:

, ,

 

Ответы: ,

 

2. Системы линейных уравнений

 

Каждую систему линейных уравнений решите тремя способами:

· Методом обратной матрицы

· Методом Крамера

,

Занятие 17. Системы линейных уравнений: метод Гаусса , ранг матрицы, теорема Кронекера-Капелли

 

1. Каждую систему линейных уравнений решите методом Гаусса:

 

 

2. Дайте определение понятия ранг матрицы.Найдите ранг матрицы методом элементарных преобразований:

а) , б) , в) , д)

 

 

3. Для каждой из указанных ниже систем

· методом элементарных преобразований определите ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы,

· на основании теоремы Кронекера-Капелли сделайте вывод о совместности системы (определите число решений системы),

· найдите решения системы, при этом, если решений множество, то укажите число базисных и свободных переменных

 

,

 

 

,

 

Ответы: не имеет решений, множество решений, .

 

 

Занятие 18. Векторы: линейные операции

 

1. По заданной паре векторов , найти декартовы координаты векторов , их длину и соответствующие единичные векторы (орты), укажите направляющие косинусы.

 

2. При каких значениях параметров векторы , коллинеарны?

 

 

3. Даны смежные вершины параллелограмма и точка пересечения его диагоналей . Найдите координаты двух других вершин и длины сторон. Ответ:

4. По координатам середин сторон треугольника найдите координаты его вершин и длины сторон.

Ответ:

5. Координаты вершин треугольника , , . Найти длину медианы, проведенной из вершины .

 

6. В трапеции отношение длин оснований , векторы диагоналей , . Выразить через векторы векторы сторон трапеции. Ответ: и т.д.

 

7. Найти координаты вектора относительно косоугольного базиса , , . Чему равны углы между векторами базиса?

 

8. Найти координаты вектора относительно косоугольного базиса , . Ответ:

 

 

Занятия 19. Скалярное произведение векторов

9. При каких значениях векторы и ортогональны?

 

10. Найти угол при вершине в треугольнике с вершинами , , . Ответ:

 

11. Векторы образуют ортонормированный базис. Найти , если известны и .

 

 

12. Найдите длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах , если , .

Ответ:

13. Найдите проекцию , если . Ответ:

 

Занятия 20. Векторное и смешанное произведения векторов

14. Найдите площадь параллелограмма, диагоналями которого служат векторы , где - единичные векторы под углом 45 градусов. Ответ:

 

15. Найти , если . Ответ:

 

 

16. Координаты вершин треугольника , , . Найти площадь треугольника и длину его высоты, опущенной из вершины .

 

17. В точке приложена равнодействующая сил . Найдите вектор момента равнодействующей этих сил относительно точки . Ответ:

18. Определить, лежат ли точки в одной плоскости?

 

19. Найдите объем тетраэдра с вершинами . Ответ:

 

 

20. При каких значениях параметра векторы компланарны?

21. Координаты вершин тетраэдра , , , а его объем равен 5. Найти значение неизвестной координаты.

Занятие 21. Прямая и плоскость в пространстве

1. Указать особенности в расположении плоскостей и схематично их построить:

 

а)3Х–Z=0; б) 2Х=0; с) 2Х–6=0; ­д) Х–2У=0; е) Х–2У–2=0;

 

ж) 2Х+Z–2=0; з) 2Х+3У+2Z–6=0;

 

2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через:

 

а) М(1; -1; 2) параллельно плоскости ОХУ;

б) М(4; -1; 2) и ось ОХ;

в) М1(7; 2; -3); М2(5; 6; -4) параллельно ОХ;

г) М1(1; -1; 2); М2(3; 0; -3) параллельно ;

д) М1(1; -3; 2); М2(5; 1; -4); С(2; 0; 3)

Найдите расстояние от М0(1; 0; -2) до найденной плоскости

е) М0(-2; 7; 3) параллельно плоскости Х–4У+5Z–1=0

ж) М0(3; 4; 0) перпендикулярно плоскостям

Х+У+5Z–9=0; 2Х+У+2Z+1=0

3. Найти углы, образованные нормалью с координатными осями и найти расстояние плоскости от начала координат:

а) ; б) ;

 

4. Покажите, что плоскости параллельны и найдите расстояние между ними:

2Х–3У+6Z–14=0

4Х–6У+12Z+21=0;

 

5. Найдите угол между плоскостями:

Х–3У+6Z–14=0

2Х–У+Z=0.

 

6. Напишите уравнение прямой, проходящей:

а) М1(2; 1; 3); М2(3; 0; 1);

б) М0(3; 1; 0) çç ;

в) М0(3; 1; 0) ^ плоскости 4Х+3У–Z=0;

 

7. Найдите точку М¢(Х; У; Z), симметричную М(1; 5; 2) относительно

плоскости 2Х–У–Z+11=0

 

 

8. Запишите канонические и параметрические уравнения прямой:

 

Ответы:Задача 2 б) 2У+Z=0; в) У+4Z+10=0; г) Х–2У–3=0; д) 11Х–5У+4Z–34 = 0; ; ж) 3Х–8У+Z+23=0;
4. ; 7. M`(-3;7;4);
 
8. ;
 
 
 
 

Занятие 22. Прямая линия на плоскости

1. Написать уравнения прямой линии на плоскости:
а) проходящей через произвольную точку под углом к оси ординат;
б) проходящей через произвольную точку параллельно прямой ;

в) проходящей через произвольную точку перпендикулярно прямой ;

г) пересекающей координатные оси в точках .

 

д) проходящей через начало координат и точку пересечения прямых .

 

2. В треугольнике с вершинами напишите уравнения сторон, высоты и медианы

 

3. По координатам смежных вершин и точки пересечения диагоналей напишите уравнения сторон параллелограмма

 

4. Найдите точку, симметричную точке относительно прямой . Ответ:

 

5.Перепишите уравнение прямой линии в нормальном виде. Найдите направляющие косинусы нормали к прямой и расстояние от начала координат до прямой.

 

6.Покажите, что прямые линии параллельны и найдите расстояние между ними. Ответ: 3

 

 

Занятие 23. Кривые второго порядка

 

1. Уравнение описывает окружность радиуса 5 с центром в точке . Определить все коэффициенты этого уравнения.

2. Постройте кривые и укажите их основные характеристики

 

; ;

 

3. Установите, какие линии определяются уравнениями и схематично постройте эти линии:

ü

ü

ü

ü

ü

4. Составьте уравнение окружности , которая имеет центр на прямой и касается прямых .

Ответ:

 

 

Занятие 24. Контрольная работа «Векторная алгебра и аналитическая геометрия». Работа состоит из 5 задач:

1.Действия над матрицами (умножение, обратная матрица), решение систем алгебраических уравнений (методы Крамера, Гаусса, матричный метод)

2. Длина вектора. Координаты вектора. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение.

3.Векторное и смешанное произведения векторов

4. Прямая линия на плоскости. Кривые второго порядка

5.Прямая линия и плоскость в пространстве

Занятие 25. Частные производные первого порядка. Градиент. Производная по направлению.

1. Найдите и схематично постройте область определения функции, дайте её характеристику (связность, замкнутость, ограниченность):

а) б) в)

г) д)

 

2. Найдите уравнение линии уровня (или поверхности уровня) для указанных функций, проходящих через заданные точки. Постройте линию уровня на чертеже вместе с областью определения:

а) б)

г) при условии

3. Для указанных функций найти частные производные первого порядка;

Записать полный дифференциал первого порядка.

а) б)

в) г) д)

е) ж) з)

и) к)

 

4. Найдите производную указанной функции по данному направлению в точке М0:

а) если

б) по направлению

 

 

5. Найдите градиент функции в указанной точке:

 

а)

б)

в)

 

6. Найти нормаль к поверхности и написать уравнение касательной плоскости для указанной функции, в указанной точке:

 

а) в точках пересечения с прямой Х=У=2;

б)

 

Занятие 26. Локальные экстремумы функции двух переменных

1. Исследуйте функцию на локальный экстремум:

а)   в) б)  
   
     

2. Исследуйте функцию на условный экстремум:

 

Z=6–5X–4У; j(Х,У)=Х22–9=0; L=6–5Х–4У+l(Х22–9)

 

3. Найдите наименьшее m и наибольшее М значения функции в замкнутой ограниченной области:

 

f=X22–ХУ–Х–У, G: Х+У£3, Х³0, У³0    

 

Ответы:Задача 1: а) (-2;0) – минимум;

б) (4;4); (-4;-4) – минимумы; в)г) (1;-1;3) – минимум.

 

Задача 2.(5;-4); – max

(-5;4); –min

.

 

Задача 3. M=6; m=-1;

 

 







Дата добавления: 2014-10-22; просмотров: 530. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2019 год . (0.028 сек.) русская версия | украинская версия