Матрицы. Действия над матрицами. Решение матричных уравнений

1. Указать особенности в расположении плоскостей и схематично их построить:

а) 3Х–Z=0; б) 2Х=0; с) 2Х–6=0; ­д) Х–2У=0; е) Х–2У–2=0;

ж) 2Х+Z–2=0; з) 2Х+3У+2Z–6=0;

2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через:

а) М(1; -1; 2) параллельно плоскости ОХУ;

б) М(4; -1; 2) и ось ОХ;

в) М₁(7; 2; -3); М₂(5; 6; -4) параллельно ОХ;

г) М₁(1; -1; 2); М₂(3; 0; -3) параллельно ;

д) М₁(1; -3; 2); М₂(5; 1; -4); С(2; 0; 3)

Найдите расстояние от М₀(1; 0; -2) до найденной плоскости

е) М₀(-2; 7; 3) параллельно плоскости Х–4У+5Z–1=0

ж) М₀(3; 4; 0) перпендикулярно плоскостям

Х+У+5Z–9=0; 2Х+У+2Z+1=0

3. Найти углы, образованные нормалью с координатными осями и найти расстояние плоскости от начала координат:

а) ; б) ;

4. Покажите, что плоскости параллельны и найдите расстояние между ними:

2Х–3У+6Z–14=0

4Х–6У+12Z+21=0;

5. Найдите угол между плоскостями:

Х–3У+6Z–14=0

2Х–У+Z=0.

6. Напишите уравнение прямой, проходящей:

а) М₁(2; 1; 3); М₂(3; 0; 1);

б) М₀(3; 1; 0) ç ç ;

в) М₀(3; 1; 0) ^ плоскости 4Х+3У–Z=0;

7. Найдите точку М¢ (Х; У; Z), симметричную М(1; 5; 2) относительно

плоскости 2Х–У–Z+11=0

8. Запишите канонические и параметрические уравнения прямой:

Ответы: Задача 2 б) 2У+Z=0; в) У+4Z+10=0; г) Х–2У–3=0; д) 11Х–5У+4Z–34 = 0; ; ж) 3Х–8У+Z+23=0;

4. ; 7. M`(-3; 7; 4);

8. ;

Занятие 22. Прямая линия на плоскости

3. Для указанных функций найти частные производные первого порядка;

Записать полный дифференциал первого порядка.

а) б)

в) г) д)

е) ж) з)

и) к)

4. Найдите производную указанной функции по данному направлению в точке М₀:

а) если

б) по направлению

5. Найдите градиент функции в указанной точке:

а)

б)

в)

6. Найти нормаль к поверхности и написать уравнение касательной плоскости для указанной функции, в указанной точке:

а) в точках пересечения с прямой Х=У=2;

б)

Занятие 26. Локальные экстремумы функции двух переменных

1. Исследуйте функцию на локальный экстремум:

а)   в)	б)

2. Исследуйте функцию на условный экстремум:

 

Z=6–5X–4У; j(Х, У)=Х²-У²–9=0; L=6–5Х–4У+l(Х²-У²–9)

 

3. Найдите наименьшее m и наибольшее М значения функции в замкнутой ограниченной области:

 

f=X2+У2–ХУ–Х–У, G: Х+У£ 3, Х³ 0, У³ 0

 

Ответы: Задача 1: а) (-2; 0) – минимум;

б) (4; 4); (-4; -4) – минимумы; в) г) (1; -1; 3) – минимум.

 

Задача 2.( 5; -4); – max

(-5; 4); –min

.

 

Задача 3. M=6; m=-1;