Теоретическая часть. Взяв выборку из генеральной совокупности и вычисляя статистические характеристики этой выборки - X и S

 

Взяв выборку из генеральной совокупности и вычисляя статистические характеристики этой выборки - X и S, можно с некоторой приближенностью считать, что эти характеристики по своим величинам будут близки к соответствующим параметрам генеральной совокупности – X₀ и σ ₀, т.е. это их оценки.

Если

X₀ ≈ X, σ ₀ ≈ S,

где X₀, X – среднеарифметические значения случайной величины соответственно в генеральной совокупности и в выборке объема n;

σ ₀ , S – среднеквадратичные отклонения изучаемой величины соответственно генеральной совокупности и в выборке из нее,

то по заданной точности ε и вероятности α приближенного равенства σ ₀ ≈ S можно определить необходимый объем выборки

 

n ≥ t² / 2q², (1)

 

где t определяется в зависимости от вероятности α, q = ε / σ;.

 

Значения t, q и α задает преподаватель. По этим величинам определяется объем выборки.

Затем студенты измеряют параметр X. При этом необходимо, чтобы цена деления шкалы измерительного инструмента была бы равна (1/6, …, 1/10) 2d, где 2d – допуск на размер детали.

Результаты измерений записываются в табл. 1.

Таблица 1

Результаты измерений

№№	X	№№	X	№№	X
…		…		…

 

Далее необходимо обработать статистические данные. Находится наибольшее X_max и наименьшее X_min значения наблюдаемого параметра X.

Размах варьирования или широта распределения при этом составляет

X_max - X_min. (2)

 

Задав число интервалов n (m 7 при n = 5 – 100, m = 9 – 15 при n 100), определяем цену интервала:

 

C = (X_max - X_min)/ m (3)

 

Цена интервала должна быть больше (или равна) цены деления шкалы измерительного инструмента или прибора, что компенсирует погрешность измерения. Подсчет частот по каждому интервалу удобно производить следующими способами. Слева выписывают интервалы от X_min до X_min+С; от X_min+С до X_min+2С и т.д. В каждый интервал включают размеры, лежащие в пределах от наименьшего значения интервала включительно, до наибольшего значения интервала, исключая его. Справа при помощи черточек подсчитывают число размеров по интервалам (табл. 2).

Таблица 2.

Расчет числа размеров по интервалам

 

Интервалы	Подсчет частот	Частота f
От	до
Xmin Xmin+С … …	Xmin+С Xmin+2С … Xmax	| | | | | | | | | … | |	… Σ fi = n

 

По данным таблицы 2 вычерчивают эмпирическую (экспериментальную) кривую распределения (по оси абсцисс откладывают середины интервалов, по оси ординат – частоты). На основании таблицы частот и эмпирической кривой распределения выдвигается гипотеза о распределении случайной величины. В нашем случае правомерна гипотеза о нормальном распределении, которое часто применяется при решении задач математической статистики и статического контроля качества. Такое распределение свидетельствует об устойчивости технологического процесса, так как замеры со значительными отклонениями от номинального размера встречаются редко. Выдвинутую гипотезу необходимо проверить.

Чтобы найти и проверить закон распределения студенты рассчитывают числовые характеристики:

· cреднеарифметическое отклонение по формуле

(4)

 

· среднеквадратичное отклонение по формуле

(5)

где n – объем выборки;

x_i – найденные размеры.

Вычисление среднеарифметического и среднеквадратичного отклонения при наличии обширных рядов измерений всегда трудоемко. Поэтому на практике для расчета этих статистических характеристик составляют таблицу предварительной обработки данных (табл. 3).

Таблица 3.

Расчет статистических характеристик измеряемых величин

 

Интервал	Середина интервала Xi	Частота fi	fi Xi	(xi – x)	(xi– x)2	fi(xi– x)2
от	До
			Σ fi	Σ fi Xi			Σ fi(xi– x)2

 

 

Тогда вместо формулы (4) можно воспользоваться формулой (6):

а вместо формулы (5) можно делать расчеты по формуле

(7)

 

Теперь следует проверить гипотезу нормальности распределения совокупности, из которой была взята выборка. Для этого нужно составить вспомогательную таблицу для вычисления критерия λ (табл. 4).

Таблица 4.

Промежуточные расчеты

 

Середина разряда Xi	t	Zt	f=(nc/S) Zt	f	Nx’	Nx	| Nx’- Nx |

 

В таблице значение t вычислено по формуле:

(8)

 

Значения Z_t взяты из таблицы 5.

Таблица 5.

Нормальное распределение вероятностей

 

T	Zt	t	Zt	t	Zt
0, 0	0, 3989	1, 4	0, 1497	2, 8	0, 0070
0, 1	0, 2980	1, 5	0, 1295	2, 9	0, 0060
0, 2	0, 3910	1, 6	0, 1109	3, 0	0, 0044
0, 3	0, 3814	1, 7	0, 0940	3, 1	0, 0033
0, 4	0, 3683	1, 8	0, 0790	3, 2	0, 0024
0, 5	0, 3521	1, 9	0, 0656	3, 3	0, 0017
0, 6	0, 3332	2, 0	0, 0540	3, 4	0, 0012
0, 7	0, 3123	2, 1	0, 0440	3, 5	0, 0009
0, 8	0, 2897	2, 2	0, 0355	3, 6	0, 0006
0, 9	0, 2661	2, 3	0, 0289	3, 7	0, 0004
1, 0	0, 2420	2, 4	0, 0224	3, 8	0, 0003
1, 1	0, 2179	2, 5	0, 0175	3, 9	0, 0002
1, 2	0, 1942	2, 6	0, 0136
1, 3	0, 1714	2, 7	0, 0104

 

Значение nc/S постоянно для всех значений Z_t. Определяется f’ - теоретическая частота. По теоретическим частотам f’ строится теоретическая кривая распределения в том же масштабе, что был принят для построения эмпирической кривой. Совмещая эмпирическую и теоретическую кривые распределения, можно предварительно оценить близость эмпирического распределения к предлагаемому теоретическому. Для более точной оценки нужно вычислить N_x и N_x’ – накопленные эмпирические и теоретические частоты, прибавляя к каждому значению f_i и f’ суммы предшествующих значений f_i-1 или f’_i-1.

Критерий λ находится по формуле:

(9)

По таблице 6 находится P (λ).

Таблица 6.

Определение вероятности критерия λ

 

λ	P (λ)	λ	P (λ)	λ	P (λ)
0, 30	1, 0000	0, 80	0, 5441	1, 60	0, 0120
0, 35	0, 9997	0, 85	0, 4653	1, 70	0, 0062
0, 40	0, 9972	0, 90	0, 3927	1, 80	0, 0032
0, 45	0, 9874	0, 95	0, 3275	1, 90	0, 0015
0, 50	0, 9639	1, 00	0, 2700	2, 00	0, 0007
0, 55	0, 9228	1, 10	0, 1777	2, 10	0, 0003
0, 60	0, 8643	1, 20	0, 1122	2, 20	0, 0001
0, 65	0, 7920	1, 30	0, 0681	2, 30	0, 0000
0, 70	0, 7112	1, 40	0, 0397	2, 40	0, 0000
0, 75	0, 6272	1, 50	0, 0222	2, 50	0, 0000

 

Если вероятность P (λ) окажется очень малой (практически, когда P (λ)≤ 0, 05), то расхождение эмпирического и теоретического распределения считается существенным, а не случайным, и гипотеза о нормальности закона распределения величины X отвергается.

Процент возможного брака определяется из сопоставления X, S и заданных границ допуска x_1, x₂.

Процент возможного брака по верхнему пределу:

(10)

Процент возможного брака по нижнему пределу:

(11)

Вероятное количество годных изделий в партии

(12)

где Φ (t₁) – нормированная функция Лапласа (находится по табл. 7);

x_1, x₂ – соответственно верхняя и нижняя границы поля допуска.

Таблица 7.

Нормированная функция Лапласа

 

t	Φ (t)	t	Φ (t)	t	Φ (t)
0, 00	0, 0000	0, 74	0, 2704	1, 48	0, 4306
0, 02	0, 0008	0, 76	0, 2764	1, 50	0, 4332
0, 04	0, 0016	0, 78	0, 2823	1, 52	0, 4357
0, 06	0, 0024	0, 80	0, 2881	1, 54	0, 4382
0, 08	0, 0032	0, 82	0, 2939	1, 56	0, 4406
0, 10	0, 0040	0, 84	0, 2995	1, 58	0, 4429
0, 12	0, 0048	0, 86	0, 3051	1, 60	0, 4452
0, 14	0, 0557	0, 88	0, 3106	1, 62	0, 4474
0, 16	0, 0636	0, 90	0, 3159	1, 64	0, 4495
0, 18	0, 0714	0, 92	0, 3212	1, 66	0, 4515
0, 20	0, 0793	0, 94	0, 3264	1, 68	0, 4533
0, 22	0, 0871	0, 96	0, 3315	1, 70	0, 4554
0, 24	0, 0948	0, 98	0, 3365	1, 72	0, 4573
0, 26	0, 1026	1, 00	0, 3412	1, 74	0, 4591
0, 28	0, 1103	1, 02	0, 3461	1, 76	0, 4608
0, 30	0, 1179	1, 04	0, 3508	1, 78	0, 4625
0, 32	0, 1255	1, 06	0, 3554	1, 80	0, 4661
0, 34	0, 1331	1, 08	0, 3599	1, 82	0, 4656
0, 36	0, 1406	1, 10	0, 3643	1, 84	0, 4671
0, 38	0, 1480	1, 12	0, 3686	1, 86	0, 4688
0, 40	0, 1554	1, 14	0, 3729	1, 88	0, 4699
0, 42	0, 1628	1, 16	0, 3770	1.90	0, 4713
0, 44	0, 1700	1, 18	0, 3810	1, 92	0, 4726
0, 46	0, 1772	1, 20	0, 3849	1, 94	0, 4738
0, 48	0, 1844	1, 22	0, 3888	1, 96	0, 4750
0, 50	0, 1915	1, 24	0, 3925	1, 98	0, 4761
0, 52	0, 1985	1, 26	0, 3962	2, 00	0, 4772
0, 54	0, 2054	1, 28	0, 3997	2, 02	0, 4783
0, 56	0, 2123	1, 30	0, 4032	2, 04	0, 4793
0, 58	0, 2190	1, 32	0, 4066	2, 06	0, 4803
0, 60	0, 2257	1, 34	0, 4099	2, 08	0, 4812
0, 62	0, 2324	1, 36	0, 4131	2, 10	0, 4821
0, 64	0, 2389	1, 38	0, 4162	2, 12	0, 4830
0, 66	0, 2454	1, 40	0, 4192	2, 14	0, 4838
0, 68	0, 2517	1, 42	0, 4222	2, 16	0, 4846
0, 70	0, 2580	1, 44	0, 4251	2, 18	0, 4854
0, 72	0, 2642	1, 46	0, 4279	2, 20	0, 4861
2, 22	0, 4868	2, 48	0, 4934	2, 78	0, 4973
2, 24	0, 4875	2, 50	0, 4938	2, 82	0, 4976
2, 26	0, 4881	2, 52	0, 4941	2, 86	0, 4979
2, 28	0, 4887	2, 54	0, 4945	2, 90	0, 4981
2, 30	0, 4893	2, 56	0, 4948	3, 00	0, 4986
2, 32	0, 4898	2, 58	0, 4951	3, 20	0, 4993
2, 34	0, 4904	2, 60	0, 4953	3, 40	0, 4996
2, 36	0, 4909	2, 62	0, 4956	3, 60	0, 4998
2, 38	0, 4913	2, 64	0, 4959	3, 80	0, 499929
2, 40	0, 4918	2, 66	0, 4961	4, 00	0, 499968
2, 42	0, 4922	2, 68	0, 4963	4, 50	0, 499997
2, 44	0, 4927	2, 70	0, 4965	5, 00	0, 499999
2, 46	0, 4931	2, 74	0, 4969