Расчет погрешностей при прямых измерениях

Допустим, что мы проводим серию из n измерений одной и той же величины х. Из-за наличия случайных ошибок отдельные значения х ₁, х ₂, х ₃… х _n неодинаковы, и в качестве наилучшего значения искомой величины выбирается среднее арифметическое , равное арифметической сумме всех измеренных значений, деленной на число измерений

. (П.1)

где å – знак суммы, i – номер измерения, n – число измерений.

Итак, – значение, наиболее близкое к истинному. Истинного же значения никто не знает. Можно лишь рассчитать интервал D х вблизи , в котором истинное значение может находиться с некоторой степенью вероятности р. Этот интервал называется доверительным интервалом. Вероятность, с которой истинное значение в него попадает, называется доверительной вероятностью, или коэффициентом надежности (так как знание доверительной вероятности позволяет оценить степь надежности полученного результата). При расчете доверительного интервала необходимая степень надежности задается заранее. Она определяется практическими потребностями (например, к деталям мотора самолета предъявляются более жесткие требования, чем к лодочному мотору). Очевидно, для получения большей надежности требуется увеличение числа измерений и их тщательности.

Благодаря тому, что случайные погрешности отдельных измерений подчиняются вероятностным закономерностям, методы математической статистики и теории вероятностей позволяют рассчитать среднюю квадратичную погрешность среднего арифметического значения Dх _сл. Запишем без доказательства формулу для расчета Dх _сл при малом числе измерений (n < 30). Формулу называют формулой Стьюдента

, (П.2)

где t _{n, p} – коэффициент Стьюдента, зависящий от числа измерений n и доверительной вероятности р.

Коэффициент Стьюдента находят по таблице, приведенной ниже, предварительно определив, исходя из практических потребностей (как было сказано выше), величины n и р.

При обработке результатов лабораторных работ достаточно провести 3–5 измерений, а доверительную вероятность принять равной0, 68.

Но бывает так, что при многократных измерениях получаются одинаковые значения величины х. Например, 5 раз измерили диаметр проволоки и 5 раз получили одно и то же значение. Так вот, это вовсе не значит, что погрешности нет. Это значит только то, что случайная погрешность каждого измерения меньше точности прибора d, которую также называют приборной, или инструментальной, погрешностью. Инструментальная погрешность прибора d определятся по классу точности прибора, указанному в его паспорте, либо указывается на самом приборе. А иногда принимается равной цене деления прибора (цена деления прибора – значение его самого маленького деления) либо половине цены деления (если на глаз приблизительно можно определить половину цены деления прибора).

Так как каждое из значений х _i получено с погрешностью d, то полный доверительный интервал Dх, или абсолютную погрешность измерения, рассчитывают по формуле

. (П.3)

Заметим, что если в формуле (П.3) одна из величин хотя бы в 3 раза больше другой, то меньшей пренебрегают.

Абсолютная погрешность сама по себе не отражает качества проведенных измерений. Например, только по информации ² абсолютная погрешность равна 0, 002 м² нельзя судить о том, сколь хорошо было проведено данное измерение. Представление о качестве проведенных измерений дает относительная погрешность e, равная отношению абсолютной погрешности к среднему значению измеряемой величины. Относительная погрешность показывает, какую долю составляет абсолютная погрешность от измеренного значения. Как правило, относительную погрешность выражают в процентах

100 %. (П.4)

Рассмотрим пример. Пусть диаметр шара измеряется с помощью микрометра, инструментальная погрешность которого d = 0, 01 мм. В результате трех измерений получились следующие значения диаметра:

d ₁ = 2, 42 мм, d ₂ = 2, 44 мм, d ₃ = 2, 48 мм.

По формуле (П.1) определяют среднее арифметическое значение диаметра шара

мм.

Затем по таблице коэффициентов Стьюдента находят, что для доверительной вероятности 0, 68 при трех измерениях t _{n, p} = 1, 3. После чего по формуле (П.2) рассчитывают случайную погрешность измерения Dd _сл

мм.

Так как полученная случайная погрешность всего в два раза превышает приборную погрешность, то при нахождении абсолютной погрешности измерения Dd по (П.3) следует учитывать и случайную погрешность, и погрешность прибора, т. е.

мм» ±0, 03 мм.

Погрешность округлили до сотых миллиметра, так как точность результата не может превышать точность измерительного прибора, которая в данном случае составляет 0, 01 мм.

Итак, диаметр проволоки равен

мм.

Данная запись говорит о том, что истинное значение диаметра шара с вероятностью 68 % лежит в интервале (2, 42 ¸ 2, 48) мм.

Относительная погрешность e полученного значения согласно (П.4) составляет

%.