Задание К3

4.3.1. Примеры решения контрольного задания К3

Пример 1. Катушка катится без скольжения в вертикальной плоскости по наклонному пути (рис. 4.5).

Найти угловую скорость катушки, скорости точек О и В, если в рассматриваемый момент времени = 2 м/с,

r = 0.6 м, R = 1 м.

Решение

Катушка совершает плоскопараллельное движение. Так как качение происходит без скольжения, то скорость точки Р касания катушки с неподвижной поверхностью , следовательно эта точка является мгновенным центром скоростей (МЦС). Вектор скорости точки А перпендикулярен АР и направлен в сторону качения катушки, а численное значение скорости пропорционально расстоянию от точки А до МЦС:

,

где

1, 49 м.

Определим угловую скорость катушки

1, 35 рад/с.

Так как скорости точек О и В катушки также пропорциональны их расстояниям до точки Р, то

0, 81 м/с;

= 0, 54 м/с.

Направление вращения катушки, а, следовательно, и направления скоростей точек В и О, определяются направлением вектора скорости по отношению к МЦС.

Пример 2. Стержень АВ имеет на концах ползуны, один из которых А скользит по прямолинейной направляющей со скоростью = = 1 м/с.

Найти в положении, указанном на рис. 4.6, угловую скорость стержня, скорости точек В и С, если АВ = 1, 2 м, АС = ВС.

Решение

Стержень АВ совершает плоскопараллельное движение. Так как скорости точек А и В направлены параллельно соответствующим направляющим, вдоль которых скользят ползуны, то, восстанавливая из точек А и В перпендикуляры к скоростям этих точек, определим положение мгновенного центра скоростей стержня АВ – точка Р. Треугольник АВР является равнобедренным, следовательно, АВ = ВР = 1, 2м.

Скорость точки А пропорциональна расстоянию от этой точки до точки Р: , где 2, 08 м.

Вычислим угловую скорость стержня АВ

0, 48 рад/с.

Скорость точки В определим по формуле

= 0, 48·1, 2 = 0, 58 м/с.

Для определения скорости точки С найдем расстояние РС с помощью теоремы косинусов

1, 59 м.

Тогда скорость точки С

= 0, 76 м/с.

Пример 3. Кривошип ОА длиной r = 1 м вращается с угловой скоростью = 2 рад/с, приводя в движение шатун АВ длиной l = 4 м, как показано на рис. 4.7.

Определить скорость ползуна В, угловую скорость шатуна в двух положениях механизма, когда угол поворота кривошипа j = 0 и j = 90⁰.

Решение

Шатун АВ совершает плоскопараллельное движение. При этом , так как точка А принадлежит кривошипу ОА, совершающему вращательное движение. Скорость ползуна В параллельна направляющим. Численное значение скорости точки А

=2·1=2 м/с.

Найдем положение мгновенного центра скоростей, восстанавливая перпендикуляры к скоростям точек А и В из этих точек. При угле j = 0 (см. рис. 4.7, а) перпендикуляр к скорости и перпендикуляр к направлению пересекаются в точке В. Следовательно, точка В является в этом положении механизма мгновенным центром скоростей и . Это положение механизма называют «мертвым». Найдем угловую скорость шатуна

= 0, 5 рад/с.

На рис. 4.7, а показано распределение скоростей точек шатуна.

При угле поворота кривошипа j = 90⁰ скорости и направлены параллельно, а перпендикуляры к ним пересекаются в бесконечности. Следовательно, в данный момент времени имеет место мгновенное поступательное распределение скоростей, то есть все точки шатуна АВ имеют одинаковые скорости, равные , при этом угловая скорость шатуна w_AB = 0 (рис. 4.7, б).

Пример 4. Кривошип ОА = 0, 5м вращается с угловой скоростью w _0А = 10 рад/с и приводит в движение шатун АВ = 4 м.

Найти угловую скорость шатуна, скорости точек В и С (АС = 2, 5м), если угол поворота кривошипа j = 45⁰ и ОА ^ АВ (рис. 4.8).

Решение

Так как кривошип ОА совершает вращательное движение, то

Шатун АВ совершает плоскопараллельное движение. Найдем мгновенный центр скоростей для данного положения шатуна – точку Р на пересечении перпендикуляров к скоростям точек А и В, восстановленных из этих точек. Треугольник РАВ равнобедренный, при этом АВ = АР = 4 м.

Найдем угловую скорость шатуна АВ

1.25 рад/с.

 

Скорости точек В и С пропорциональны их расстояниям до МЦС:

,

 

где ВР = 5, 65 м;

= 1, 25·5, 65 = 7, 07 м/с;

, где СР = 4, 72 м;

= 1, 25·4, 72 = 5, 9 м/с.

 

4.3.2. Условие и варианты задания К3

Для тела, совершающего плоскопараллельное движение, в соответствии с заданными кинематическими характеристиками и геометрическими размерами элементов, определить угловые скорости и линейные скорости точек. Расчетные схемы и исходные данные приведены в табл. 4.5.

 

Таблица 4.5

Вариант К3-1
1.1	1.2
Катушка катится без скольжения по прямолинейному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек А и В, если в рассматриваемый момент r = 3 см, R = 4 см, .	Стержень АВ имеет на концах ползуны, один из которых А скользит по прямолинейной направляющей со скоростью . Найти в положении, указанном на рисунке, угловую скорость стержня, скорости точек В и С, если АВ = 6 см, АС = ВС.
Вариант К3-2
2.1	2.2
Колесо катится без скольжения в вертикальной плоскости по наклонному пути. Найти угловую скорость колеса, скорости точек О и В, если в рассматриваемый момент R = 2 см, .	Стержень АВ имеет на концах ползуны, один из которых А скользит по прямолинейной направляющей со скоростью . Найти в положении, указанном на рисунке, угловую скорость стержня, скорости точек В и С, если АВ = 12 см, АС = ВС.

Продолжение табл. 4.5

Вариант К3-3
3.1	3.2
Катушка катится без скольжения по прямолинейному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек В и С, если в рассматриваемый момент r = 1 см, R = 2 см, .	Стержень АВ имеет на концах ползуны, один из которых А скользит по прямолинейной направляющей со скоростью . Найти в положении, указанном на рисунке, угловую скорость стержня, скорости точек В и С, если АВ = 8 см, АС = ВС.
Вариант К3-4
4.1	4.2
Катушка катится без скольжения в вертикальной плоскости по наклонному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек О и В, если в рассматриваемый момент r = 4 см, R = 10 см, .	Стержень АВ имеет на концах ползуны, один из которых А скользит по прямолинейной направляющей со скоростью . Найти в положении, указанном на рисунке, угловую скорость стержня, скорости точек В и С, если АВ = 4 см, АС = ВС.

Продолжение табл. 4.5

Вариант К3-5
5.1	5.2
Катушка катится без скольжения прямолинейному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек О и В, если в рассматриваемый момент r = 5 см, R = 10 см, .	Стержень АВ имеет на концах ползуны, один из которых А скользит по прямолинейной направляющей со скоростью . Найти в положении, указанном на рисунке, угловую скорость стержня, скорости точек В и С, если АВ = 10 см, АС = 6 см.
Вариант К3-6
6.1	6.2
Катушка катится без скольжения в вертикальной плоскости по наклонному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек О и В, если в рассматриваемый момент r = 2 см, R = 6 см, .	Стержень АВ имеет на концах ползуны, один из которых А скользит по прямолинейной направляющей со скоростью . Найти в положении, указанном на рисунке, угловую скорость стержня, скорости точек В и С, если АВ = 6 см, АС = 2 см.

 

Продолжение табл. 4.5

Вариант КЗ-7
7.1	7.2
Колесо катится без скольжения по прямолинейному пути. Найти угловую скорость колеса, скорости точек О и В, если в рассматриваемый момент R = 3 см, = 12 см/с.	Стержень АВ имеет на концах ползуны, один из которых А скользит по прямолинейной направляющей со скоростью = 16 см/с. Найти в положении, указанном на рисунке, угловую скорость стержня, скорости точек В и С, если АВ = 8 см, АС = ВС.
Вариант КЗ-8
8.1	8.2
Катушка катится без скольжения в вертикальной плоскости по наклонному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек А и В, если в рассматриваемый момент R = 4 см, r = 3 см, = 10 см/с.	Стержень АВ имеет на концах ползуны, один из которых А скользит по прямолинейной направляющей со скоростью = 20 см/с. Найти в положении, указанном на рисунке, угловую скорость стержня, скорости точек В и С, если АВ = 10 см, АС = ВС.

Продолжение табл. 4.5

Вариант КЗ-9
9.1	9.2
Катушка катится без скольжения по наклонному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек А и В, если в рассматриваемый момент R = 4 см, r = 2 см, = 8 см/с.	Стержень АВ имеет на концах ползуны, один из которых А скользит по прямолинейной направляющей со скоростью . Найти в положении, указанном на рисунке, угловую скорость стержня, скорости точек В и С, если АВ = 6 см, АС = ВС.
Вариант КЗ-10
10.1	10.2
Катушка катится без сколь-жения в вертикальной плоскости по наклонному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек В и С, если в рассматриваемый момент R = 4 см, r = 3 см, = 7 см/с.	Стержень АВ имеет на концах ползуны, один из них А скользит по прямолинейной направляющей со скоростью . Найти в положении, указанном на рисунке, угловую скорость стержня, скорости точек В и С, если АВ = 4 см, АС = ВС.

Продолжение табл. 4.5

Вариант КЗ-11
11.1	11.2
Колесо катится без скольжения по прямолинейному пути. Найти угловую скорость колеса, скорости точек О и В, если в рассматриваемый момент R = 5 см, r = 3 см, = 12 см/с.	Кривошип ОА длиной 1 м вращается с угловой скоростью = 2 рад/с и приводит в движение шатун АВ длиной 1 м. Найти угловую скорость шатуна, скорости точек А и С, если АС = ВС.
Вариант КЗ-12
12.1	12.2
Катушка катится без сколь-жения в вертикальной плоскости по наклонному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек А и В, если в рассматриваемый момент R = 4 см, = 10 см/с.	Кривошип ОА длиной 0, 5 м вращается с угловой скоростью = 2 рад/с и приводит в движение шатун АВ длиной 1 м. Найти угловую скорость шатуна, скорости точек А и С, если ВС = 0, 2 м.

 

Продолжение табл. 4.5

Вариант К3-13
13.1	13.2
Катушка катится без скольжения по прямолинейному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек А и В, если в рассматриваемый момент r = 2 см, R = 4 см, .	Кривошип ОА длиной 0, 5 м вращается с угловой скоростью = 3 рад/с и приводит в движение шатун АВ длиной 1 м. Найти угловую скорость шатуна, скорости точек В и С, если ВС = 0, 1 м.
Вариант К3-14
14.1	14.2
Катушка катится без скольжения по прямолинейному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек А и В, если в рассматриваемый момент r = 2 см, R = 4 см, .	Кривошип ОА длиной 0, 4 м вращается с угловой скоростью = 2, 5 рад/с и приводит в движение шатун АВ длиной 1 м. Найти угловую скорость шатуна, скорости точек В и С, если АС = 0, 3 м.

 

 

Продолжение табл. 4.5

Вариант К3-15
15.1	15.2
Катушка катится без скольжения по прямолинейному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек А и В, если в рассматриваемый момент r = 5 см, R = 10 см, .	Кривошип ОА длиной 0, 6 м вращается с угловой скоростью = 2 рад/с и приводит в движение шатун АВ длиной 1 м. Найти угловую скорость шатуна, скорости точек В и С, если ВС = 0, 3 м.
Вариант К3-16
16.1	16.2
Катушка катится без скольжения по прямолинейному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек А и В, если в рассматриваемый момент r = 5 см, R = 10 см, .	Кривошип ОА длиной 0, 4 м вращается с угловой скоростью = 1 рад/с и приводит в движение шатун АВ длиной 1 м. Найти угловую скорость шатуна, скорости точек В и С, если АС = 0, 2 м.

 

 

Продолжение табл. 4.5

Вариант К3-17
17.1	17.2
Катушка катится без скольжения по прямолинейному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек А и В, если в рассматриваемый момент R = 3 см, .	Кривошип ОА длиной 1 м вращается с угловой скоростью = 1 рад/с и приводит в движение шатун АВ длиной 3 м. Найти угловую скорость шатуна, скорости точек В и С, если ВС = 1 м.
Вариант К3-18
18.1	18.2
Катушка катится без скольжения по прямолинейному пути. Найти угловую скорость ка-тушки, скорости точек А и В, если в рассматриваемый момент r = 3 см, R = 4 см, .	Кривошип ОА длиной 1, 5 м вращается с угловой скоростью = 2 рад/с и приводит в движение шатун АВ длиной 2 м. Найти угловую скорость шатуна, скорости точек В и С, если ВС = 0, 15м.

 

 

Продолжение табл. 4.5

Вариант К3-19
19.1	19.2
Катушка катится без скольжения по прямолинейному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек А и В, если в рассматриваемый момент r = 2 см, R = 4 см, .	Кривошип ОА длиной 0, 5 м вращается с угловой скоростью = 2 рад/с и приводит в движение шатун АВ длиной 4 м. Найти угловую скорость шатуна, скорости точек В и С, если АС = 2, 5 м.
Вариант К3-20
20.1	20.2
Катушка катится без скольжения по прямолинейному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек А и В, если в рассматриваемый момент r = 2 см, R = 5 см, .	Кривошип ОА длиной 0, 5 м вращается с угловой скоростью = 1 рад/с и приводит в движение шатун АВ длиной 4 м. Найти угловую скорость шатуна, скорости точек В и С, если ВС = 1 м.

 

 

Продолжение табл. 4.5

Вариант К3-21
21.1	21.2
Катушка катится без скольжения по прямолинейному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек А и В, если в рассматриваемый момент r = 2 см, R = 4 см, .	Кривошип ОА длиной 2 м вращается с угловой скоростью = 2 рад/с и приводит в движение шатун АВ длиной 2 м. Найти угловую скорость шатуна, скорости точек В и С, если АС = 0, 5 м.
Вариант К3-22
22.1	22.2
Катушка катится без скольжения по прямолинейному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек А и В, если в рассматриваемый момент, R = 3 см, .	Кривошип ОА длиной 2 м вращается с угловой скоростью = 2 рад/с и приводит в движение шатун АВ длиной 1 м. Найти угловую скорость шатуна, скорости точек В и С, если АС = 0, 5 м.

 

Продолжение табл. 4.5

Вариант К3-23
23.1	23.2
Катушка катится без скольжения по прямолинейному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек А и В, если в рассматриваемый момент r = 3 см, R = 4 см, .	Кривошип ОА длиной 1 м вращается с угловой скоростью = 2 рад/с и приводит в движение шатун АВ длиной 3 м. Найти угловую скорость шатуна, скорости точек В и С, если ВС = 1 м.
Вариант К3-24
24.1	24.2
Катушка катится без скольжения по прямолинейному пути. Найти угловую скорость катушки, скорости точек А и В, если в рассматриваемый момент r = 3 см, R = 6 см, .	Стержень ОА длиной 1 м шарнирного четырехзвенника вращается с угловой скоростью = = 2 рад/с. длиной 1 м. Найти угловые скорости стержней АВ длиной 2 м и ВD длиной 3 м, а также скорости точек В и С, если АС = 1 м.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛитературЫ

1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики.– М.: Высшая школа, 1974.– 400 с.

2. Бутенин И.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Краткий курс теоретической механики. Т.1: Статика и кинематика.– М.: Наука, 1985.– 240 с.

3. Яблонский А.А. Курс теоретической механики Ч.1: Статика. Кинематика.– М.: Высшая школа, 1984.– 343 с.

4. Павловський М.А. Теоретична механіка.– Київ: Техніка, 2002.– 670 с.

5. Беломытцев А.С. Краткий курс теоретической механики. Статика и кинематика / Тексты лекций для студентов заочной формы обучения всех специальностей.– Харьков: НТУ «ХПИ», 2004.– 76 с.

6. Адашевский В.М., Анищенко Г.О., Тарсис Ю.Л. Общий курс теоретической механики / Учебное пособие для студентов заочной формы обучения.– Харьков: НТУ «ХПИ», 2005.– 108 с.

7. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т.1: Статика и кинематика.– М.: Наука, 1990.– 670 с.

 

СОДЕРЖАНИЕ

Введение............................................
1. Кинематика точки..................................
1.1. Способы задания движения точки...................
1.2. Скорость точки...................................
1.3. Ускорение точки..................................
1.4. Частные случаи движения точки....................
Вопросы для самоконтроля............................
2. Кинематика твердого тела...........................
2.1. Понятие о степенях свободы твердого тела...........
2.2. Поступательное движение тела.....................
2.3. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.....
2.4. Преобразование простейших движений..............
Вопросы для самоконтроля............................
3. Плоскопараллельное движение твердого тела..........
3.1. Уравнения плоскопараллельного движения. Разложение движения на поступательное и вращательное.............
3.2. Определение скоростей и ускорений точек тела.......
3.3. Мгновенный центр скоростей......................
Вопросы для самоконтроля............................
4. Задания к контрольным работам......................
4.1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения. Задание К1...................
4.1.1. Пример решения контрольного задания К1..........
4.1.2. Условия и варианты задания К1...................
4.2. Преобразование простейших движений твердого тела. Задание К2..........................................
4.2.1. Пример решения контрольного задания К2..........
4.2.2. Условия и варианты задания К2...................
4.3. Определение скоростей точек тела при плоскопараллельном движении. Задание К3..............
4.3.1. Примеры решения контрольного задания К3........
4.3.2. Условия и варианты задания К3...................
Список рекомендуемой литературы....................

 

 

Навчальне видання

 

АДАШЕВСЬКИЙ Володимир Михайлович

АНІЩЕНКО Галина Оттівна

ТАРСІС Юрій Львович

 

ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНІКА.

КІНЕМАТИКА

Навчально-методичний посібник

для студентів заочної форми навчання усіх спеціальностей

 

Російською мовою

 

Роботу до друку рекомендував Д.В. Бреславський

 

В авторській редакції

 

Комп’ютерна верстка та графічне оформлення – І.Р. Грабовська

 

План 2007, п. 42/

Підп. до друку..07. Формат 60х84 1/16. Папір офсет. № 2.

Riso – друк. Гарнітура Таймс. Ум. друк. арк. 2, 8. Обл.-вид. арк. 4, 5.

Наклад 100 прим. Зам. №. Ціна договірна

 

Видавничий центр НТУ «ХПІ».

Свідоцтво про державну реєстрацію ДК № 116 від 10.07.2000 р.

61002, Харків, вул. Фрунзе, 21

______________________________________________________________

Друкарня НТУ «ХПІ».61002, Харків, вул. Фрунзе, 21