Задание К1
4.1.1. Пример решения контрольного задания К1 Пусть точка М движется в плоскости xOy в соответствии с уравнениями
Для момента времени Решение Заданный закон движения точки в координатной форме можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Исключим время t из уравнений движения и получим уравнение траектории точки в виде:
Таким образом, траекторией точки М является эллипс со смещенным центром, изображенный на рис. 4.1. Отметим на траектории положение точки М 1 (x 1, y 1) в момент времени t 1 = 0, 5 c
Вектор скорости точки представим в виде:
где
В момент времени t 1 = 0, 5 c
Вектор скорости точки
Полученный вектор должен быть направлен по касательной к траектории точки в сторону движения. Модуль скорости точки определим по уже найденным проекциям
Вектор ускорения точки представим в виде:
где
В момент времени t 1 = 0, 5 c
Вектор ускорения точки
Полученный вектор ускорения точки в общем случае должен отклоняться от вектора скорости в сторону вогнутости траектории, а при движении по эллипсовидной траектории – проходить через центр эллипса. Модуль ускорения точки определим по уже найденным проекциям
Вектор полного ускорения точки можно также представить в виде геометрической суммы его проекций на оси естественной системы отсчета
где
В момент времени t 1 = 0, 5 c
Значение касательного ускорения Нормальное ускорение
В момент времени t 1 = 0, 5 c
Построим векторы Радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определим по формуле
В момент времени t 1 = 0, 5 c
Результаты всех вычислений для заданного момента времени приведены в табл. 4.1. Таблица 4.1
Примечание. В последнем столбце через ρ обозначен радиус кривизны траектории в точке 4.1.2. Условие и варианты задания К1 По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени Исходные данные для решения приведены в табл. 4.2. Таблица 4.2
Продолжение табл. 4.2
|
.
= 0, 5 с найти положение точки М на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.
= 1.
см;
см.
,
– орты координатных осей Оx и Оy; 
– проекции вектора скорости точки на координатные оси, которые равны 1-м производным от соответствующих координат по времени
строим по двум взаимно перпендикулярным проекциям 
и 
в соответствии с выбранным масштабом
.
,
– проекции вектора скорости точки на координатные оси, которые равны 1-м производным от проекций вектора скорости или 2-м производным от соответствующих координат по времени:
строим по двум взаимно перпендикулярным проекциям 
и 
в соответствии с выбранным масштабом
.
,
и 
– единичные орты касательной и главной нормали; 
и 
– соответственно проекции вектора ускорения на касательную и главную нормаль. Касательную М 1t направляем по касательной к траектории в сторону движения точки движения, а главную нормаль М 1 n – перпендикулярно касательной в сторону вогнутости траектории. При вычислении касательного ускорения удобно воспользоваться формулой, устанавливающей связь между координатным и естественным способами задания движения точки
.
.
имеет отрицательный знак, следовательно, в данный момент времени движение точки замедленное и вектор касательного ускорения 
направлен в противоположную сторону направлению вектора скорости точки 
, если известен радиус кривизны траектории. Например, если точка движется по окружности радиусом R, то в любой точке траектории ρ = R. Если же траекторией движения точки является прямая, то 
, следовательно, 
. В данном случае радиус кривизны траектории заранее не известен, поэтому нормальное ускорение определяем по формуле:
.
.
в соответствии с уже выбранным масштабом, а затем сложим их геометрически. В результате получим тот же вектор полного ускорения точки 
.
.
.
найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.
с
, см
, см
