Пример №3

К решению третьей задачи следует приступать после изучения темы " Кручение". Кручением называют вид нагружения бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор — крутящий момент М_k, который численно равен алгебраической сумме внешних моментов, действующих на оставленную часть: Мк =Σ М. Внешний момент, направленный по ходу часовой стрелки (при взгляде со стороны проведенного сечения), считается положительным (то есть дает положительный крутящий момент); в противном случае внешний момент отрицателен. При кручении возникают в поперечных сечениях бруса касательные напряжения

 

τ =	Mk
Wp

 

где Wp – полярный момент сопротивления сечения бруса. Углы закручивания отдельных участков бруса определяются по формуле

 

φ =	Mk·ℓ
G∙ Jp

 

где ℓ —длина соответствующего участка,

G —модуль упругости II рода (модуль сдвига)

J_p —полярный момент инерции поперечного сечения бруса

Задание

Для заданного вала определить значения внешних скручивающих моментов M_l M₂ и М₃ и уравновешивающий момент М_о. Построить эпюру крутящих моментов по длине вала. Определить диаметр вала из расчетов на прочность и жесткость. Построить эпюру углов закручивания по

длине вала, если G = 8∙ 10⁴ Н/мм², [τ ] = 30 Н/мм², [φ _о] = 0, 02 рад/м, ω = 25 рад/с, P₁ = 3, 6 кВт, Р₂=4, 1 кВт, Р₃=4, 6 кВт, a=b= с=2, 1 м.

Решение

 

1.Определяем численные значения внешних скручивающих моментов:

 

M1 =	P1	=		= 144H·M;
ω

 

M2 =	P2	=		= 164 H ∙ M;
ω

 

M3 =	P3	=		= 184H · MM.
ω

 

Из условия равновесия вала определяем уравновеишвакйций момент

 

Мо: ∑ M=0; - М1 - М2 + М0 - М3=0; М0 = М1 + М2 + М3 = 144 + 164 + 184 = 492 Н∙ м;

 

2.Разбиваем вал на 3 участка. С помощью метода сечений определяем
крутящие моменты на каждом участке:

 

Мк1 = - М1 = - 144Н∙ м;

 

Мk2=-М1-М2=-144–164=-308Н∙ м;

 

Мk3= - М1 – М2 + М0 – 144 - 164 + 492 = 184 Н∙ м.

 

Эпюру крутящих моментов по длине вала строим в масштабе

μ м =20 Н∙ м/мм.

 

3.Требуемый полярный момент сопротивления

 

WP≥	Mk2	=	308∙ 103	= 10, 27·103мм3
[τ ]

 

Определяем диаметр вала из расчета на прочность:

 

d≥ 3	16·Wp	= 3	16∙ 10, 27·103	= 34, 7мм.
π	π

 

4.Требуемый полярный момент инерции:

 

Jp≥	Mk2	=	308·103	= 19, 25∙ 104 мм4
G[φ 0]	8·104·0, 02·10-3

 

Определяем диаметр вала из расчета на жесткость:

 

d≥ 4	32·Jp	= 4	32·19, 25·104	= 34, 7 мм.
π	π

 

5.Принимаем диаметр вала d=38 мм. Полярный момент инерции:

 

Jp =	π d4	=	π ∙ 384	= 20, 46∙ 104 мм4.

 

Определяем углы закручивания участков вала:

 

φ 1=	Mk1·a	= -	144·103·2, 1·103	= -0, 0185рад;
G·Jp	8·104·20, 46·104

 

φ 2=	Mk2∙ b	= -	308·103∙ 2, 1∙ 103	= -0, 0395 рад;
G∙ Jp	8∙ 104∙ 20, 46∙ 104

 

φ 3=	Mk3∙ c	=	184·103∙ 2, 1∙ 103	= 0, 0236 рад.
G∙ Jp	8∙ 104∙ 20, 46∙ 104

 

Полный угол закручивания вала:

 

φ = φ 1 + φ 2 + φ 3 = - 0, 0185 – 0, 0395 + 0, 0236 = - 0, 0344 рад.

 

Определяем углы закручивания сечений:

φ B = 0; φ c = φ B – φ 1 = 0 – 0, 0185 = - 0, 0185 рад;

 

φ D = φ с + φ 2 = - 0, 0185 - 0, 0395 = - 0, 0580 рад;

 

φ Е = φ D +φ 3 = - 0, 0580 + 0, 0236 = - 0, 0344 рад.

 

Эпюру углов закручивания строим в масштабе

 

μ φ =0, 004 рад/мм.