Пример №6

Задание:

Определить силу натяжения Т троса, поднимающего бадью массой m = 200 кг вертикально вверх с ускорением а_τ = 2 м/с².

Решение. Условно освободим бадью от связи и вместо троса приложим к ней силу реакции R. Бадья поднимается с ускорением, поэтому сила реакции и сила тяжести не уравновешивают друг друга, хотя и направлены по одной прямой в противоположные стороны. Условно уравновесим их, приложив к телу силу инерции. Бадья ускоренно поднимается вверх, поэтому силу инерции следует приложить в сторону, противоположную ускорению, т.е. вертикально вниз. Схема действующих сил изображена на рисунке 7. Все силы действуют по одной прямой, поэтому имеем одно уравнение равновесия

 

Σ Yi=R-G-Fин=0

 

Откуда R=G+F_ин, или R=mg+ma_τ

Подставив числовые значения, получим

 

R = 200× 9, 81+200× 2 = 2360 Н = 2, 36 кН.

 

Из уравнения условного равновесия бадьи получено значение силы реакции, а по условию задачи требуется найти силу натяжения троса. На основании закона равенства действия и противодействия сила, натягивающая трос, равна силе реакции и противоположно направлена. Следовательно, Т = 2, 36кН.

К решению шестой задачи первой контрольной работы (задачи 51—60) следует приступить лишь после того, как будут изучены темы 1.15 и 1.16 программы и разобраны примеры, приведенные в данном пособии.

Для решения задачи целесообразно использовать теоремы динамики точки: теорему об изменении кинетической энергии точки. Напомним формулировки теорем для случая прямолинейного движения точки. Изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно импульсу силы, действующей на данную точку в течение того же промежутка времени. В простейшем случае прямолинейного движения точки данная теорема запишется следующим уравнением:

 

mJ-mJ0=Ft

, (3)

 

где Ft – импульс силы; mJ и mJ₀ – количество движения точки соответственно в конечный и начальный моменты данного промежутка времени t. Этой теоремой удобно пользоваться при решении задач, связанных с временем движения точки.

Теорема об изменении кинетической энергии точки формулируется следующем образом: изменение кинетической энергии точки на некотором пути равно работе, приложенной к ней силы на том же пути. Записывается она уравнением

 

 

Подставив числовые значения, получим

 

mJ2/2-mJ2/2 = W

(4)

 

где mJ²/2, mJ²₀/2 — кинетическая энергия точки соответственно в

конечный и начальный моменты рассматриваемого движения точки; W — работа, совершенная силой на этом пути. Данную теорему целесообразно применять при решении задач, связанных с расчетом пути, проходимого точкой.

Следует заметить, что если движение точки совершалось под действием нескольких сил, то под импульсом Ft и работой W в уравнениях (3) и (4) надо понимать соответственно импульс и работу равнодействующей всех сил, приложенных к точке, включая и силы реакции связей.

Условимся импульс и работу сил сопротивления считать отрицательными и в уравнения (3) и (4) подставлять со знаком минус.

Указанные теоремы применимы и к поступательно движущемуся телу, если считать, что вся масса тела сосредоточена в центре масс.

Задание: Поезд движется со скоростью 30 м/с по горизонтальному и прямолинейному участку пути. Завидев опасность, машинист начинает тормозить поезд. Определить время до полной остановки и тормозной путь, если сила торможения равна 0, 1 от веса поезда.

Решение. Приложим к поезду, условно изображенному на рисунке в виде прямоугольника, все действующие на него силы. На поезд действует неуравновешенная система сил. Сила тяжести G и сила реакции R уравновешивают друг друга, поэтому равнодействующая система сил равна силе торможения F_f. Воспользуемся теоремой об изменении количества движения и найдем время торможения. Импульс силы торможения условились считать отрицательным:

- F_f t = mJ - mJ₀

Нас интересует время движения до полной остановки, поэтому конечная скорость J = 0.

Тогда — F_ft = — mJ₀, откуда t = mJ₀/F_f.

Но по условию F_f = O, 1G, а массу поезда можно выразить из основного закона динамики:

G = mg, откуда m = G/g. Тогда

 

t=	G	J0/(0, 1G)=J0/(0, 1g).
g

Рисунок №8

Подставив числовые значения входящих в уравнение величин, получим

 

t=30/(0, 1× 9, 81) =30, 6 с.

 

Для определения тормозного пути воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии, взяв работу силы торможения со знаком минус:

 

-Ffs=mJ2/2-mJ20/2, но J=0, тогда – Ffs= -mJ20/2,

откуда

s=mJ20/(2Ff); но m=G/g, Ff=0, 1G,

тогда

s=GJ20/(g∙ 2∙ 0, 1G)=J20/(2g0, 1)=302/(2∙ 9, 81∙ 0, 1)=460м.

Задание:

Какую силу нужно приложить к телу массой m = 2000 кг, чтобы за время t = 5 с скорость его движения изменилась с 5 до 15 м/с? Найти пройденный телом путь за время t = 5c.

Решение.

Силу, действующую на тело, легко найти, воспользовавшись теоремойизменении количества движения: откуда

 

F=	mJ-mJ0	=	2000∙ 15-2000∙ 5	=4000H=4kH
t

 

Пройденный телом путь найдем из теоремы об изменении кинетической энергии:

 

Fs=mJ2/2-mJ20/2

откуда:

s=	mJ2-mJ20	=	m(J2-J20)	=	2000(152-52)	= 50м
2F	2F	2∙ 4000