Пример №4. К решению четвертой задачи первой контрольной работы следует приступить после изучения тем 1.8 и 1.9 и тщательного разбора приведенных в данном пособии

 

К решению четвертой задачи первой контрольной работы следует приступить после изучения тем 1.8 и 1.9 и тщательного разбора приведенных в данном пособии примеров. В задачах рассматривается равнопеременное движение точки, поэтому, прежде чем приступить к решению этой задачи, надо четко представлять, что такое скорость и ускорение движения точки, знать, какие существуют виды движения точки, знать, какие существуют виды движения точки в зависимости от ускорения. Напомним, что ускорение — векторная величина, которая характеризует быстроту изменения скорости как по модулю, так и по направлению. Ускорение, характеризующее быстроту изменения числового значения скорости, называют касательным, а по направлению — нормальным. Касательное ускорение а_τ всегда направлено по касательной к траектории в рассматриваемый момент времени. Если числовое значение скорости с течением времени остается неизменным, то касательное ускорение отсутствует. Это случай так называемого равномерного движения. Движение с постоянным касательным ускорением называется равнопеременным.

Нормальное ускорение а_n всегда направлено по радиусу к центру кривизны траектории. Если точка движется прямолинейно, то скорость по направлению не меняется, значит нормальное ускорение отсутствует. Надо хорошо знать формулы, связывающие пройденный путь, скорость, ускорение и время. Решение всех задач для большей наглядности целесообразно иллюстрировать рисунками.

Задание: Точка, движется равноускоренно из состояния покоя и за время t = 10 с проходит путь

s = 300 м. Найти скорость и полное ускорение в конце 10 —й секунды от начала движения, если движение происходит по дуге окружности радиуса r =400 м.

Решение. Из условий задачи следует, что мы имеем дело с частным случаем равноускоренного движения — движения без начальной скорости, т.е. J₀=0. Для этого случая формулы пути (s, строго говоря, не путь, а расстояние точки от ее начального положения, и в общем случае движения эти два понятия не совпадают. Но в частном случае, когда точка все время движется в одном направлении и начало ее движения совпадает с началом отсчета расстояния, понятия пути и расстояния совпадают. В примерах, приведенных в данном пособии, пройденные точкой путь и расстояния одинаковы) и скорости упрощаются:

 

s = aτ t2/2 и J = aτ t.

 

Выразив из формулы пути ускорение и подставив значения входящих величин, получим

 

аτ = 2s/t2 = 2× 300/102 = 6м/с2.

 

Задано, что движение равноускоренное, значит касательное ускорение постоянно и, следовательно, в конце 10 — й секунды остается таким же.

Для вычисления нормального ускорения необходимо знать скорость точки и радиус кривизны траектории в данный момент времени.

Найдем скорость:

 

J = aτ t = 6× 10 = 60 м/с.

 

Теперь можно вычислить нормальное ускорение:

 

an =J2/r = 602/400 = 9м/с2.

 

Полное ускорение найдем из формулы

 

a= a2τ +a2n= 62+92=10, 8м/с2

На рисунке 4 изображен участок траектории (точка О соответствует началу движения точки, точка А — концу рассматриваемого движения), а также векторы скорости, ускорений в начале и конце движения.

Задание:

При равнопеременном движении точки по дуге окружности радиуса r = 500 м и на пути s = 1200 м ее скорость уменьшается с 30 до 10 м/с. Найти время движения и пройденный путь до полной остановки точки.

Решение.

В задаче дано изменение скорости на пути s = 1200 м. Ни из формулы пути, ни из формулы скорости непосредственно нельзя найти касательное ускорение или время этого движения.

S=J0t+	aτ t2	(1)

Запишем обе формулы:

 

 

J=J0+aτ t

(2)

 

Из (2) a_τ t=J-J₀

Подставим полученное выражение в (1) и выразим время t:

 

s = J0t + (J-J0)t/2

, откуда

S = (J0t + Jt)/2

, тогда

t = 2s/(J0 + J)=2× 1200/(30 + 10) = 60c.

Найдем касательное ускорение:

aτ =	J-J0	=	10-30	= -0, 33м/с2
t

 

Вычислим время движения точки до остановки, обозначив его через t_к. Из формулы скорости имеем J_к = J₀ + а_τ t_к, но J_к = 0 тогда 0 = J₀ + a_τ t_k, откуда t_k = -J₀/а_ℓ = -30/-0, 33 = 90с.

Теперь можно найти полный путь, пройденный точкой до остановки:

 

Sk=J0tk+	aτ t2k	= 30∙ 90+	-0, 33∙ 902	=1350м.