Продольно-поперечный изгиб

Если к стержню одновременно приложены сжимающая сила и поперечные нагрузки, то возникает так называемый продольно-поперечный изгиб (см. рис. 15.3). Изгибающий момент можно определить как сумму двух моментов:

где - момент только от поперечной нагрузки.

Рис. 15.3

Составим дифференциальное уравнение оси изогнутого бруса:

Запишем его в следующем виде:

Общее решение уравнения (15.16) представляет собой сумму двух интегралов: интеграла однородного уравнения и частного интеграла, зависящего от правой части. Решение этой задачи сложно, особенно если для определения брус надо разбить на ряд участков. Поэтому, как правило, пользуются приближенным методом решения. Прогиб, вызываемый поперечной нагрузкой и осевой силой, можно представить как сумму прогибов:

где - прогиб, вызываемый только поперечной нагрузкой,

- дополнительный прогиб, появившийся в результате действия продольной силы F.

Если в дифференциальное уравнение (15.16) подставить выражение (15.17), то получим:

Но при действии только поперечной нагрузки справедливо равенство:

Поэтому из уравнения (15.18) с учетом равенства (15.19) получим:

или

Сделаем предположение, что дополнительные прогибы изменяются по закону синуса (в этом и заключается приближенность решения):

Тогда:

и

но, согласно формуле (15.21):

Подставляя полученное выражение в уравнение (15.20), имеем:

,

или, согласно равенству (15.17):

откуда:

Учитывая, что для рассматриваемого случая величина представляет собой выражение эйлеровой критической силы, окончательно получим:

 

Следует отметить, что формулой (15.22) нельзя пользоваться в тех случаях, когда сжимающая сила близка к критической. Тогда в знаменателе получается ноль и величина прогиба стремиться к бесконечности, что неверно (прогиб не может быть больше длины стержня). Формулой можно пользоваться при , что применимо для большинства инженерных расчетов.