Формула Эйлера для критической силы

Рассмотрим сжатый стержень в критическом состоянии, т.е. когда он слегка прогнулся (см. рис. 15.1). В произвольном сечении, взятом на расстоянии z от левого конца стержня, изгибающий момент от критической силы равен:

где - прогиб стержня.

 

 

Рис.15.1

Знак " минус" взят потому, что стержень изгибается концами вниз. Если бы стержень прогнулся дугой вниз, то момент был бы положительным, но прогиб - отрицательным, и произведение было бы все равно со знаком " минус".

Согласно формуле (11.1), дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня примет вид:

При сжатии вдоль оси стержень всегда изгибается относительно той оси, момент инерции относительно которой минимальный. В этом можно убедиться, сжимая линейку. Поэтому в формуле (15.1) берем минимальный осевой момент инерции сечения.

Преобразуем уравнение (15.1):

Обозначив

получим:

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение имеет вид:

Для определения произвольных постоянных А и В используем граничные условия.

При z = 0; y = 0;

Уравнение примет вид:

Как видно из уравнения (15.5), стержень изогнется по синусоиде.

Второе граничное условие:

При z = l; y = 0;

Это условие выполняется в двух случаях:

1) B = 0; 2) = 0.

Первый случай отбрасываем, так как при нем прогибы всех точек равны нулю, т.е. стержень остается прямым.

При втором случае:

Возьмем общий случай:

Возведем в квадрат обе части уравнения:

Вместо подставим его значение из формулы (15.2):

или

Принимая = 1, = 2 и т.д., получим последовательный ряд значений , которым соответствуют различные искривленные формы равновесия стержня. С точки зрения расчета на устойчивость нас интересует лишь наименьшее значение критической силы, так как уже при этом значении силы стержень теряет устойчивость. Поэтому = 1 и формула принимает вид:

Критическая сила зависит от способа закрепления концов стержня, поэтому вводится коэффициент - коэффициент приведенной длины (не путать с коэффициентом поперечной деформации). В общем случае формула Эйлера примет вид:

Значения коэффициента даны на рис. 15.2.

Рис. 15.2