Пенроуз Р. 11 страница

15.6. Шарик подвешен на тонкой нерастяжимой нити длиной l = 50 см к краю горизонтального диска радиусом R = 20 см. Диск приводят во вращение вокруг вертикальной оси. С какой угловой скоростью надо вращать диск, чтобы нить с шариком отклонилась от вертикали на угол α = 30⁰?

 

15.7. Металлический шарик, падая с высоты h ₁ =1 м, отскакивает от нее на высоту h ₂ = 0, 49 м. Во сколько раз уменьшается импульс шарика при ударе?

 

15.8. Небольшая шайба начинает движение без начальной скорости по гладкой ледяной горке из точки А. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Зависимость потенциальной энергии шайбы от координаты х изображена на графике U(x). Найти отношение кинетических энергий шайбы в точках С и В.

 

 

15.9. Материальная точка массой m = 100 г начинает двигаться под действием силы . Чему равна мощность, развиваемая силой в момент времени 1с, если зависимость радиус-вектора материальной точки от времени имеет вид м?

 

 

15.10. Люстра массой m = 100 кг подвешена к потолку на цепи длиной L = 5 м. Определить угол α, на который можно отклонить люстру, чтобы при последующих качаниях цепь не оборвалась. Известно, что разрыв цепи наступает при силе натяжения Т = 1960 Н.

 

 

ИДЗ «Механика поступательного движения материальной точки»

Вариант 16

 

 

16.1. Закон движения материальной точки имеет вид: = 2t + (2 + 3t²) . Найти перемещение и модуль перемещения |∆ |за 2 с движения и нарисовать этот вектор в координатах ХУ.

 

16.2. Точка движется прямолинейно вдоль оси ОХ. На рисунке представлен график зависимости проекции скорости тела на ось ОХ от времени. Найдите пройденный путь и модуль перемещения точки за время ее движения от 0 до 6 с.

 

16.3. Неподвижное тело, находясь на оси Х в точке с координатой 5м, начинает двигаться с ускорением а_х = 3 м/с² в отрицательном направлении этой оси. Найти зависимость его координаты и скорости от времени и определить их значения через 2 с после начала отсчета времени. Каков путь, пройденный телом за это время?

 

 

16.4. Материальная точка движется по окружности со скоростью V. На рисунке показан график зависимости проекции скорости V _τ от времени ( – единичный вектор положительного направления, V _τ – проекция скорости на это направление). Определите, увеличиваются, уменьшаются, остаются постоянными или равны нулю величины нормального и тангенциального ускорений. Ответ поясните.

 

16.5. Два бруска массами m ₁ = 5 кг и m ₂ = 3 кг связаны невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок. Брусок I может скользить по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол α = 30⁰. Коэффициент трения бруска I о наклонную плоскость μ = 0, 1. Найти ускорение, с которым движутся бруски и силу натяжения нити.

16.6. Автомобиль массой m = 1400 кг въезжает на выпуклый мост, представляющий собой дугу окружности радиусом R = 160 м. Скорость автомобиля равна v = 72 км/ч. В некоторый момент времени радиус-вектор, проведенный из центра кривизны моста в точку, где находится автомобиль, составляет с горизонталью угол α = 60⁰. Определить силу нормального давления автомобиля на мост в этой точке.

 

16.7. Теннисный мяч летел с импульсом (масштаб и направление указаны на рисунке), когда теннисист произвел по мячу резкий удар со средней силой F = 80 H. Изменившийся импульс мяча стал равным . Найти время ∆ t, в течение которого сила действовала на мяч.

 

16.8. На рисунке 1 приведен график зависимости потенциальной энергии от координаты. Какой из графиков зависимости консервативной силы от координаты на рисунке 2, соответствует такой зависимости потенциальной энергии от координаты? Ответ поясните выкладками и рассуждениями.

 

16.9. На тело массой m = 2 кг, находящееся на гладкой горизонтальной поверхности, действует переменная сила, направленная горизонтально вдоль оси ОХ. График зависимости проекции ускорения тела ах от координаты тела х представлен на рисунке. Определить работу силы при перемещении тела на расстояние 6 м.

 

 

16.10. Небольшое тело соскальзывает с высоты Н = 3 м по наклонному скату, переходящему в «мертвую петлю» с радиусом R = 0, 5 м. На какой высоте h тело оторвется от поверхности петли, если трение отсутствует?

 

 

ИДЗ «Механика поступательного движения материальной точки»

Вариант 17

 

17.1. Радиус – вектор, описывающий движение материальной точки изменяется со временем по закону:

где - радиус – вектор в момент времени t = 0, А - положительная константа, равная 5, - единичный орт оси ОХ. Что представляет собой траектория, по которой движется материальная точка? Найдите модуль вектора перемещения точки за время 3 с от начала движения.

 

 

17.2. На рис. 1 приведен график зависимости проекции скорости от времени для материальной точки, движущейся прямолинейно вдоль оси ОХ. На рис.2 представлены четыре различных графика зависимости проекции ускорения от времени. Какой из этих графиков соответствует приведенной зависимости проекции скорости от времени?

 

 

 

17.3. Зависимость от времени координаты точки, движущейся вдоль оси Х, определяется соотношением х = - 1, 5 t ² + 8 t + 2. Найти среднюю путевую скорость за t ₁ = 4 с после начала отсчета времени.

 

 

17.4. Материальная точка движется по окружности со скоростью V. На рисунке показан график зависимости проекции скорости V _τ от времени (τ – единичный вектор положительного направления, V _τ – проекция скорости на это направление). Определите, увеличиваются, уменьшаются, остаются постоянными или равны нулю величины нормального и тангенциального ускорений. Ответ поясните.

 

 

17.5. Тело массой m = 200 кг равномерно поднимают по наклонной плоскости с углом наклона α = 30⁰, прикладывая силу F = 1500 Н вдоль направления движения. С каким ускорением тело будет соскальзывать вниз, если его отпустить?

 

17.6. При какой минимальной постоянной скорости движения автомобиля по вершине выпуклого моста, радиус кривизны которого R = 90 м, пассажиры испытывают мгновенное состояние невесомости?

 

17.7. Механическая система состоит из трех частиц, массы которых m ₁ = 0, 1 г, m ₂ = 0, 2 г, m ₃ = 0, 3 г. Первая частица находится в точке с координатами (2, 3, 0), вторая – в точке (2, 0, 1), третья – в точке (1, 1, 0) (координаты даны в сантиметрах). Найти координаты центра масс системы x_C, y_C и _. z_C.

 

17.8. На рисунке изображен график проекции F_x консервативной силы на ось 0X. Укажите номер графика потенциальной энергии, соответствующей этой силе. Обоснуйте ответ.

 

V

t 1

t

t2

17.9.На рисунке изображен график зависимости скорости V прямолинейного движения материальной точки от времени t. Определите знаки работ А ₁ и А ₂ силы, действующей на точку в интервалах времени [0, t ₁] и [ t ₁, t ₂]. Ответ поясните выкладками и рассуждениями.

 

17.10. Груз массой m = 1 кг падает на чашу пружинных весов с высоты H = 10 м. Считая удар абсолютно неупругим, найти показание весов при наибольшем сжатии пружины, если равновесное состояние соответствует величине сжатия L = 0, 5 см.

 

 

ИДЗ «Механика поступательного движения материальной точки»

Вариант 18

 

18.1. Вектор скорости материальной точки меняется со временем по закону: = 3t² + (2t² + 1) . Найти зависимости от времени величин проекций вектора скорости и ускорения на оси координат и величину ускорения через 2 с после начала движения.

 

18.2. Две материальные точки 1 и 2 в момент времени выходят из точки с координатой и движутся в положительном направлении оси . Используя графики зависимости от времени (с) проекций и скоростей точек, найдите расстояние от места начала движения до места встречи.

 

 

18.3. Через одну секунду после начала равнопеременного движения вдоль некоторой оси координата точки х ₁ = -3 м, а еще через секунду – х ₂ = -12 м. Найти ускорение этой точки.

 

18.4. Точка М движется по спирали с постоянной по величине скоростью в направлении, указанном стрелкой. Укажите знак проекции тангенциального ускорения на направление скорости. Определите, увеличиваются, уменьшаются, остаются постоянными или равны нулю величины полного и нормального ускорений. Объясните свой выбор.

 

18.5. Тело начинает скользить вниз по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α = 30⁰. У основания плоскости тело ударяется о стенку, поставленную перпендикулярно к направлению его движения, и отскакивает без потери скорости. Определить коэффициент трения μ при движении тела, если после удара оно поднялось до половины первоначальной высоты.

 

18.6. Автомобиль массой m = 5 т равномерно со скоростью V = 72 км/час съезжает в вогнутый мост, представляющий собой дугу окружности радиусом R = 80 м. Определить, с какой силой автомобиль давит на мост в точке, радиус которой составляет с радиусом впадины моста угол α = 30⁰.

 

18.7. Материальная точка двигалась вдоль оси Х равномерно с некоторой скоростью V_x. Начиная с момента времени t = 0, на нее стала действовать сила F_х, график временной зависимости которой представлен на рисунке. Какой график правильно отражает зависимость величины проекции импульса материальной точки от времени на следующем рисунке? Ответ обоснуйте.

 

 

18.8. Потенциальная энергия частицы задается функцией U = x ² + y ² – z ². Определить компоненту F_z – компоненту (в Н) вектора силы, действующей на частицу в точке А (1, 2, 3). Функция U и координаты точки А заданы в единицах СИ.

 

18.9. Материальная точка массой m = 200 г начинает двигаться под действием силы = + (Н). Зависимость радиус-вектора материальной точки от времени имеет вид (м). Определить мощность (в Вт), развиваемую силой в момент времени t = 2 с.

 

18.10. На идеально гладком столе лежат два груза, массы которых относятся как 1: 3. Грузы соединены между собой сжатой пружиной жесткостью k = 1000 Н/м. Пружина удерживается в сжатом состоянии с помощью тонкой нерастяжимой нити. После пережигания нити пружина разжимается, и более легкий груз приобретает кинетическую энергию W_k = 60 Дж. Определить величину деформации ∆ l сжатой пружины.

 

ИДЗ «Механика поступательного движения материальной точки»

Вариант 19

 

19.1. Радиус – вектор, описывающий движение материальной точки изменяется со временем по закону:

где - радиус – вектор в момент времени t = 0, - единичный орт оси ОХ, - единичный орт оси ОУ. Что собой представляет траектория, по которой движется материальная точка? Найдите величину ускорения в момент времени t = 2 с.

 

19.2. Скорость автомобиля массой 500 кг изменяется в соответствии с графиком, приведенным на рисунке. Определите равнодействующую силу в момент времени t = 3 с.

 

 

19.3. Первая точка движется по траектории y = 5 x ². Закон движения второй точки: x = 2 t (м), y = 8 t (м). В какой момент времени они встретятся и каковы координаты их места встречи?

 

 

19.4. Точка М движется по спирали с постоянной по величине скоростью в направлении, указанном стрелкой. Укажите знак проекции тангенциального ускорения на направление скорости. Определите, увеличиваются, уменьшаются, остаются постоянными или равны нулю величины полного и нормального ускорений. Объясните свой ответ.

 

19.5. Веревка выдерживает груз массой m ₁ = 110 кг при вертикальном подъеме его с некоторым ускорением и груз массой m ₂ = 690 кг при опускании его с таким же по модулю ускорением. Какова максимальная масса груза m, который можно поднимать на этой веревке с постоянной скоростью?

 

19.6. Тело массой m = 1, 2 кг находится на гладкой горизонтальной плоскости и вращается вокруг вертикальной оси. Оно прикреплено к оси пружиной с жесткостью k = 200 Н/м и движется по окружности радиуса R, совершая n = 1 об/сек. Длина пружины в недеформированном состоянии равна L ₀ = 50 см. Определить радиус траектории тела R.

 

 

19.7. Проекция p_x импульса материальной точки, движущейся прямолинейно вдоль оси Х, изменяется со временем так, как показано на рис. 1. Какой номер графика на рис. 2 соответствует зависимости F_x (t) – проекции силы, действующей на точку и вызывающей это изменение p_x? Ответ обосновать.

 

19.8. На рисунке показан вектор силы, действующей на частицу. Найти работу, совершенную этой силой при перемещении частицы из начала координат в точку с координатами (4; 3).

 

 

19.9. На рисунке изображен график потенциальной энергии упругодеформированного тела. Какой из отмеченных точек графика соответствует наибольшая упругая сила, действующая в направлении оси ОX? Обоснуйте ответ.

 

19.10. Два маленьких шарика массами m ₁ = 10 г и m ₂ = 20 г висят на длинных одинаковых вертикальных нитях. Между ними находится сжатая пружина, которая удерживается в сжатом состоянии связывающей ее нитью. Потенциальная энергия деформации пружины U = 0, 05 Дж. Нить, связывающую тела, пережигают. Найти максимальные высоты h ₁ и h ₂, на которые поднимутся шарики.

 

ИДЗ «Механика поступательного движения материальной точки»

Вариант 20

 

20.1. Координаты материальной точки изменяются со временем по законам

м м м.

Запишите векторный вид зависимости радиус – вектора точки и вычислите величину мгновенной скорости в момент времени t = 1с.

 

20.2. Точка движется вдоль оси ОХ с постоянным ускорением а = +1 м / с ². Скорость в начальный момент времени равна V_х0 = - 3 м /с. Найдите среднюю путевую скорость за четыре секунды движения.

20.3. Тело из состояния покоя начинает двигаться вдоль оси ОХ. График зависимости проекции ускорения тела на ось ОХ приведён на рисунке. Определить проекцию скорости движущейся точки в момент времени 3 с.

 

 

20.4. Точка М движется по спирали в направлении, указанном стрелкой. Нормальное ускорение по величине не изменяется. Определите, увеличивается, уменьшается или остается постоянной величина скорости. Поясните ваш вывод.

 

 

20.5. Человек везет связанные веревкой двое саней, каждые из которых имеют массу m = 15 кг, прикладывая силу F = 120 Н под углом α = 45⁰ к горизонту. Найти ускорение саней, если коэффициент трения полозьев о снег μ = 0, 2.

 

20.6. Камень массой m = 25 кг, подвешенный к потолку на канате, движется в горизонтальной плоскости по окружности с частотой n = 12 об/мин. Длина каната l = 5 м. Какова сила натяжения T каната?

 

 

20.7. Вдоль оси OX навстречу друг другу движутся две частицы с массами m ₁ = 4 г и m ₂ = 2 г и скоростями V ₁ = 5 м/с и V ₂ = 4 м/с соответственно. Найти проекцию скорости центра масс на ось ОХ.

 

 

20.8. В потенциальном полесила пропорциональна градиенту потенциальной энергии . Если график зависимости потенциальной энергии от координаты х имеет вид, представленный на рисунке, то зависимость проекции силы на ось Х изображается графиком под номером …

 

 

 

20.9. На рисунке изображены графики зависимости силы F, действующей на материальную точку, от пройденного пути S. В каких случаях средние мощности, развиваемые силой F, одинаковы? Ответ обоснуйте. Найдите эти мощности, если время t = 2 c.

 

 

20.10. Пуля летит горизонтально со скоростью υ ₀ = 160 м/с, пробивает стоящую на горизонтальной шероховатой поверхности коробку и продолжает движение в прежнем направлении со скоростью υ ₀. Масса коробки в 12 раз больше массы пули. Коэффициент трения скольжения между коробкой и поверхностью μ = 0, 3. На какое расстояние S переместится коробка к моменту, когда ее скорость уменьшится на 20%?

 

Вариант 1

1.1. На рисунке стрелками показаны направления углового ускорения вращающихся дисков, а также указано, как изменяется их угловая скорость по модулю с течением времени. Какой из дисков вращается против часовой стрелки (если смотреть сверху)?

 

1.2 Колесо радиусом R = 10 см вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени задана уравнением , где - в радианах, t - в секундах. Найдите для точек, лежащих на ободе колеса: а) линейную скорость, б) нормальное ускорение и в) угловое ускорение ε для момента времени t = 3 с.

 

1.3.На графике представлена зависимость угла φ поворота вращающегося тела от времени t. Определите начальную угловую скорость вращения тела.

 

1.4.Две материальные точки массами расположены симметрично относительно оси , расположенной в плоскости чертежа. Как изменится момент инерции этих точек при повороте оси в плоскости чертежа на угол из положения в положение

 

 

1.5. Равнозамедленное вращение совершает диск, приведенный на рисунке под номером …

 

1.6. Имеются два цилиндра: алюминиевый (сплошной) и свинцовый (полый) одинакового радиуса R = 10 см и одинаковой массы m = 0, 50 кг. Найдите моменты инерции этих цилиндров. За какое время каждый цилиндр скатится без скольжения с наклонной высота наклонной плоскости h = 0, 50 м, угол наклона плоскости α =30°.

 

1.7. Диск начинает вращаться под действием момента сил М, график временной зависимости которого представлен на рисунке.

Укажите график, правильно отражающий зависимость момента импульса диска от времени.

 

 

1.8.На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом R =2 м, стоит человек. Масса платформы M =200 кг, масса человека m =80 кг. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек будет идти вдоль ее края со скоростьюv=2 м/с относительно платформы.Момент инерции человека рассчитывать, как для материальной точки.

 

 

1.9. Для того, чтобы раскрутить стержень массы m ₁и длины l₁ вокруг вертикальной оси, расположенной перпендикулярно стержню через его середину, до угловой скорости, необходимо совершить работу А₁. Во сколько раз большую работу, чем А₁, надо совершить, для того, чтобы раскрутить до той же угловой скорости стержень массы m ₂ = 2 m ₁ и длины l₂ = 2 l₁?

 

1.10. Тонкий прямой стержень длиной l = 1 м прикреплен к горизонтальной оси, проходящий через его верхний конец. Стержень отклонили на 60º от положения равновесия и отпустили. Определите линейную скорость нижнего конца в момент прохождения через положение равновесия.