Повторные испытания. Схема Бернулли. Локальная и интегральная формулы Лапласа

Если производится несколько испытаний и вероятность наступления события A в каждом из них не зависит от исхода других испытаний, то такие испытания называются независимыми.

В разных независимых испытаниях событие A может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же. Далее мы будем рассматривать лишь такие независимые испытания, в которых событие A имеет одну и ту же вероятность.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A наступит ровно m раз, определяется формулой Бернулли:

,

где . Формула Бернулли дает точное значение вероятности события. Однако, из-за трудностей вычисления, она применяется только тогда, когда число испытаний n невелико (n < 10). При используют так называемые асимптотические (приближенные) формулы: формулу Пуассона и формулы Муавра-Лаплпса.

Формула Пуассона применяется при большом числе испытаний, при условии, что вероятность появления события в одном испытании весьма мала: . Она имеет вид:

.

Функция табулирована, ее значения для различных значений a и m приведены в таблице 1.

Значения функции приведены в таблице 2.

Локальная формула Муавра-Лапласа удобна при большом количестве испытаний и при условии, что вероятность появления события в одном независимом испытании .

Если вероятность появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие A появится в n испытаниях ровно m раз, равна:

,

где .

Функция табулирована, ее значения для различных x приведены в таблице 3. Функция является четной, то есть .

В том случае, если необходимо найти вероятность появления события A не менее m ₁ раз, но не более m ₂ раз, используют интегральную теоремуМуавра-Лапласа:

,

где , _. Функция табулирована, ее значения для различных x приведены в таблице 4. При этом надо иметь в виду, что функция является нечетной функцией, то есть . В таблице приведены значения функции лишь до х = 5, при , с большей степенью точности можно считать, что .

Примеры

30. 100 разбойников пробираются по замку по одиночке. Каждого из них подстерегает ловушка, вероятность попадания в которую равна 0, 8; при этом вероятность его смерти равна 0, 9.

Какова вероятность летального исхода у 60 разбойников.

Решение. Событие A – событие, заключающееся в том, что разбойник умрет.

Тогда, р (А) = 0, 8*0, 9 =0, 72;

; j(х) = 0, 0119.

Согласно локальной формуле Муавра-Лапласа

р ₁₀₀(60) = 0, 00265.

31. В коробке 10 фантов, из которых в семи – просьба спеть, а в остальных – рассказать анекдот. Случайным образом вынимается 4 фанта.

Найти вероятность того, что в трех из них будет просьба спеть.

Решение. По условию задачи n = 4, m = 3, p = 0, 7, q = 0, 3.

Тогда, по формуле Бернулли получаем:

P ₄(3) = 4! /3! *(0, 7³*0, 3) = 4*0, 343*0, 3 = 0, 4116.

32. Возможно короткое замыкание, вероятность которого равна 0, 0005 для каждого провода коммуникации. Всего проходит 4000 проводов.

Определить вероятность возникновения обесточивания всей системы, если для этого достаточно хотя бы одного замыкания.

Решение. Событие A – событие, состоящее в том, что произойдёт хотя бы одно замыкание; B – событие, состоящее в том, что не произойдёт ни одного замыкания.

Тогда

р (В) = р₄₀₀₀(0); Р (А) = 1– Р (В); n = 4000, P = 0б0005, a = 2, m = 0.

По формуле Пуассона имеем

р ₄₀₀₀(0)=1/0! * e ^–2 = 0, 13534; р (А) = 1–0, 13534 = 0, 86466.

33. В пекарне выпекают пирожки с изюмом. Всего 10 штук. В тесто кладут около 300 грамм изюма. Предполагается, что средний вес изюмины около 1 грамма.

Найти вероятность того, что в одной булочке окажется 15 изюмин.

Решение. Среднее число изюмин в одной булочке a = 30 т.к. 300/10 = 30;

.

Наибольшая вероятность при 7-8 изюминах и вероятности 0, 139.

34. Имеется 2 урны. В первой урне 5 белых и 5 черных шаров. Во второй урне 3 белых и 2 черных шара. Наудачу выбирается урна и из нее вынимается шар. Затем шар возвращается в урну, из которой его вынули, и процедура повторяется еще 5 раз (всего процедура проведена 6 раз).

Какова вероятность того, что число вынутых белых шаров будет:

а) три;

б) более трех.

Решение. Событие A – из урны вынут белый шар; событие Н ₁ – выбрана первая урна; Н ₂ – выбрана вторая урна.

Тогда,

р (Н ₁) = р (Н ₂) = 1/2; р (А / Н ₁) = 5/10 = 1/2; р (А / Н ₂) = 3/5;

Р (А) = 1/2*(1/2+3/5) = 0, 55.

а) ;

б) р ₆(m > 3) = р ₆(4) + р ₆(5) + р ₆(6) = 0, 27795+0, 13589+0, 02768 = 0, 44152.

35. Вероятность того, что зашедший в ресторан посетитель сделает заказ, равна 0, 8. Определить вероятность того, что из 100 зашедших не менее 75 человек сделают заказ.

Решение. Поскольку n = 100 велико, p = 0, 8 и q = 0, 2 не малы, применим интегральную формулу Муавра-Лапласа, получим

р ₁₀₀(m³ 75) = р ₁₀₀(75£ m£ 100) = Ф(х ₁)–Ф(х ₂) = Ф()–Ф() =

= Ф(5)–Ф(–1, 2) = Ф(5)+Ф(1, 2) = 0, 5+0, 385=0, 885.

36. Известно, что 30% призывников имеют 27 размер обуви. Сколько пар обуви надо иметь на складе воинской части чтобы с вероятностью р ₀ = 0, 9 были обеспечены все такие призывники, если в часть прибыло 200 новобранцев.

Решение. Очевидно, имеет место схема Бернулли: подбор пары обуви каждому призывнику – одно из 200 испытаний, причем вероятность того, что ему потребуется обувь 27 размера,
р = 0, 3. Пусть на складе имеется k пар обуви, где k пока не известно. Требуется подобрать такое k, чтобы р ₂₀₀(0£ m £ k)³ р ₀.

Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа, получим

р ₂₀₀(0£ m £ k)» Ф()–Ф() =

= Ф()–Ф() = Ф()+Ф(9, 26) = Ф()+0, 5 ³ 0, 9.

Ф() ³ 0, 4. По таблице 4 находим, что Ф(х)> 0, 4 при х > 1, 28. Следовательно, > 1, 28 и k > 68, 284.То есть на складе достаточно иметь 69 пар обуви такого размера, чтобы с вероятностью 0, 9 обеспечить спрос.

37. На факультете учатся 500 студентов.

Найти вероятность того, что первое сентября является днем рождения:

а) трех студентов;

б) не менее трех.

Решение. Число испытаний n = 500; число студентов, родившихся первого сентября m = 3; вероятность того, что студент родился 1 сентября р = 1/365.

а) Так как n велико, а р мало и a = nр = 500/365 = 1, 37, воспользуемся формулой Пуассона:

p_n (m)» [ a^m / m! ]* e ^{– a} ; р ₅₀₀(3)» [1, 37³/3! ]*е^{–1, 37} = 0, 11.

б) р ₅₀₀(m ³ 3) = 1–р₅₀₀(m £ 2) = 1–0, 84 = 0, 16.

38. В первые классы школы должны быть приняты 200 детей. Вероятность рождения мальчика 0, 515.

Найти вероятность того, что среди них:

а) девочек и мальчиков будет поровну;

б) мальчиков меньше, чем девочек.

Решение. а) Число детей n = 200, число мальчиков m = 100, вероятность того, что ученик мальчик р = 0, 515, q = 0, 485. Так как n велико, р не мало, используем локальную формулу Муавра-Лапласа:

p_n (m)» j(x), , х = –0, 4245, j(–0, 4245) = 0, 364.

Тогда р ₂₀₀(100)» 0, 364/7, 068 = 0, 05.

б) Для вычисления р ₂₀₀(m < 100) используем интегральную формулу Муавра-Лапласа.

р ₂₀₀(1£ m £ 99)» Ф()–Ф() = Ф(–0, 57)+0, 5 = 0, 5–0, 2157 = 0, 2843.