Примеры. 39.Вероятность нормального расхода электроэнергии в некотором районе города равна 0,6

39. Вероятность нормального расхода электроэнергии в некотором районе города равна 0, 6.

а) Составить закон распределения случайной величины Х – числа дней нормального расхода электроэнергии в ближайшие 4 дня;

б) найти интегральную функцию распределения случайной величины Х и построить ее график;

в) найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение Х.

Решение. а) Число дней расхода электроэнергии Х – это дискретная случайная величина. Ее возможные значения по условию , , , , . Вероятность каждого возможного значения найдем по формуле Бернулли:

Теперь составим ряд распределения

	0, 0256	0, 1536	0, 3456	0, 3456	0, 1296

и построим многоугольник распределения

б) Рассмотрим интервал . Событие для этого интервала является невозможным, так как нет ни одного отрицательного значения Х. Следовательно, . На следующем интервале для имеем . Вероятность этого события равна 0, 0256; . На интервале Х может принимать значения и . Следовательно, .

Аналогично, ;

и

.

Таким образом, интегральная функция распределения имеет вид:

Построим график этой функции

в) Математическое ожидание числа дней нормального расхода электроэнергии найдем по формуле , т.е.

.

Дисперсию вычисляем по формуле :

.

Среднее квадратичное отклонение:

40. Вини Пуху захотелось полакомиться мёдом. Если он заберётся на дерево, то вероятность укуса пчелой равна 0, 4.

Составить закон распределения случайной величины Х, если наш герой забирается на 5 деревьев.

Решение. Случайная величина Х – количество укусов пчелой. Случайная величина Х имеет биноминальное распределение.

;

;

;

;

;

;

х
р	0, 07776	0, 2592	0, 3456	0, 2304	0, 0768	0, 01024

41. Идёт охота на дикого зверя с помощью ловушки. Вероятность попасть в ловушку для волка – 0, 3, для медведя – 0, 5, для лисы и зайца – 0, 6.

Найти закон распределения нормальной величины X – числа попавших в ловушку зверей.

Решение. ; ; ; ; ; ;

;

; .

х
p	0, 14	0, 41	0, 36	0, 09

42. В книге кулинарных рецептов имеется 6 рецептов приготовления первого блюда, 4 – второго блюда. Пять раз подряд выписывают наудачу взятые рецепты. Случайная величина X – число рецептов первых блюд.

Составить закон распределения величины X, найти математическое ожидание и дисперсию.

Решение.

, , .

, , , , , .

, .

x
р	0, 01024	0, 0768	0, 2304	0, 3456	0, 2592	0, 07776

43. Идёт игра в дартс. Вероятность попадания в центр для участника A – 0, 8, B – 0, 7. Всего пять попыток.

Составить законы распределения числа попаданий для обоих игроков, если первым кидает игрок A, а также закон распределения общего числа попаданий.

Решение.

Число попаданий участника
Вероятность участника A	0, 008	0, 096	0, 384	0, 512
Вероятность участника B	0, 09	0, 42	0, 49	--------

 

Общее число попаданий
Вероятность	0, 00072	0, 012	0, 0788	0, 2544	0, 4032	0, 25088

44. Предлагаются следующие правила игры: если играющий достанет из полного набора домино фишку, сумма очков на которой равна 3, 6 или 9, то получит приз в размере 9, 6 или 3 у.е., соответственно. В противном случае он отдает 2 у.е. Стоит ли соглашаться на игру?

Решение. Фишку с суммой равной 3 можно достать двумя способами: (0+3), (1+2); 6 – четырьмя способами (0+6), (1+5), (2+4), (3+3); 9 – двумя способами (3+6), (4+5).

М (X) = 9*2/28+6*4/28+3*2/28–2*20/28 = 8/28 = 2/7, т.к. математическое ожидание больше нуля, то можно сделать вывод о том, что играть стоит.

45. Сколько раз в среднем нужно бросать игральную кость до появления 6.

Решение. Пусть р – вероятность появления 6, вероятность первого успеха отсюда равна . Чем больше количество испытаний, тем больше искомая вероятность.

Количество испытаний				………	n
Вероятность	p	pq	pq 2	……	p × qn –1

Суммарная вероятность равна p + pq + pq ² + pq ³ +….+ pq^{n –1} = p (1+ q + q ²+…+ + q^{n –1});

(1+ q + q ²+…+ q^{n –1}) = 1/(1– q).

Т.о., р /1– q = p /1–1+ P = 1; среднее число испытаний m до первого успеха по определению равно (М (х)):

(1) m = pq +2 pq +3 pq ²+…+ npq^{n –1}.

Для нахождения суммы такого ряда применим способ суммирования геометрических рядов:

(2) qm = pq +2 pq ² +3 pq ³+…+ npq^{n –1} q;

Вычитая (2) из (1) получим:

m – qm = p + pq + pq ²+…+ pq^{n –1};

m (1– q)=1; при этом 1– q =1, следовательно, mp =1, откуда m =1/ p =1/6.

Возможно другое решение задачи:

Если первое испытание неудачно, то условное среднее число испытаний равно 1+ m, а если первое испытание удачно, то условное среднее число испытаний равно 1, т.о. n = p *1+ q (1+ m)=1+ qm, откуда m =1/ p =1/6.

46. Человеку предлагают сыграть в игру, заключающуюся в том, что из колоды в 36 карт достают две карты по одной и возвращают обратно. Выигрыш, номиналом в 4$ происходит тогда, когда появляется хотя бы один козырь. За игру человек платит 2$. Выгодно ли это?

Решение. , и событие A – появление козыря.

; .

Тогда, .

, следовательно, играть не выгодно.

47. Выигрыш происходит в том случае, если из полного набора домино достают фишку, сумма очков которой равна 3, 6 или 9, и равен 3, 6 или 9 соответственно. Проигрыш равен 2. Выгодно ли играть и какова плата за участие, чтобы оно было безобидным.

Решение. ; три очка можно получить как 0+3 или 1+2

шесть как 0+6, 1+5, 2+4 или 3+3,

девять очков как 3+6 или 4+5.

Остальные 20 случаев проигрышные.

– значит это выгодно.

Допустим, что a – безобидное участие в игре. .

, откуда . Т.о. а безобидно при .

48. Абитуриент сдает 2 вступительных экзамена по математике и физике.

Составить закон распределения случайной величины Х, числа полученных пятерок, если вероятность получения пятерки по математике равна 0, 8, а по физике – 0, 6.

Решение. Возможные значения Х есть 0, 1, 2.

Причем,

; ;

.

x
р	0, 08	0, 44	0, 48

49. Согласно американским статистическим таблицам смертности, вероятность того, что 25-летний человек проживет еще один год, равна 0, 992 (следовательно, вероятность того, что он умрет, равна 0, 008). Страховая компания предлагает такому человеку застраховать свою жизнь на год на сумму 1000$; страховой взнос равен 10$.

Найти математическое ожидание прибыли компании.

Решение. Величина прибыли Х есть случайная величина со значениями +10$ и –990$. Составим таблицу распределения вероятностей:

х	+10	–990
р	–0, 992	0, 008

.

Ожидаемая средняя прибыль положительна, что дает возможность страховой компании продолжить дело, оставляя резервный капитал для выплаты страховых сумм, производить административные расходы, получать прибыль.

50. Игра в рулетку. На колесе рулетки имеется 38 одинаково расположенных разметок: 00, 0, 1, 2, …, 36. Игрок может поставить 1$ на любой номер. Если его номер выиграл, игрок получает 36$ (35$ выигрыша плюс 1$ ставки).

Найти математическое ожидание выигрыша.

Решение. Составим таблицу распределения вероятностей:

х	–1	+35
р	37/38	1/38

.

Игра не является «справедливой», игорный дом должен обеспечивать себе средний доход на «накладные расходы» и риск.

51. Найти и для случайной величины Z, если и , , , .

Решение. .

.

52. Вероятность появления события A при каждом из бесконечной последовательности испытаний равна р. Случайная величина x - номер испытания, при котором произошло первый раз событие А. Найти закон распределения случайной величины х.

Решение. Случайная величина x может принимать любое целое положительное значение 1, 2, 3,... Вероятность p₁ того, что событие A произойдет при первом испытании, будет

р₁ = Р(А) = р.

Вероятность р₂ того, что событие не произойдет при первом испытании, а произойдет при втором, будет

р₂ =Р( и А) = (1-p)р.

Вероятность р₃ того, что событие A не произойдет ни при первом, ни при втором испытании, а произойдет при третьем, будет

р₃ = Р( и и А) = (1-p)(1-p)p = (1-p)²p

и т.д.

p_k = (1-p)^k-1p. (2)

Таблица распределения вероятностей будет

x				…	…	k	…
pk	p	(1-р)р	(1-р)2р	…	…	(l-p)k-lp	…

Здесь также имеем:

53. Вероятность попадания при каждом выстреле p = 0, 8. Имеется три снаряда. Определить вероятность того, что будет израсходован один снаряд, два снаряда, три снаряда, если стрельба ведется до первого попадания или промаха всеми тремя снарядами; составить таблицу распределения случайной величины x - числа израсходованных снарядов.

Решение. Пусть x - случайная величина, число израсходованных снарядов; Р(x = x ₁) - вероятность того, что будет израсходовано x ₁ снарядов.

Тогда Р(x = 1) = p = 0, 8 равна вероятности попадания при одном (первом) выстреле.

Р(x = 2) = (1-p)p = (1-0, 8)× 0, 8 = 0, 16 - вероятность того, что при первом выстреле был промах, при втором выстреле - попадание.

Р(x = 3) = (1-p)² = (1-0, 8)× (1-0, 8) = 0, 2× 0, 2 = 0, 04,

так как всего три снаряда и стрельбу прекращают независимо от того, будет ли при третьем выстреле попадание или промах. Последнюю вероятность можно было вычислить и как разность

1 – Р(x = 1) -Р(x = 2) = 1-0, 8-0, 16 = 0, 04. Таблица распределения будет иметь вид

x
P(x = xk)	0, 8	0, 16	0, 04

54. Изобразить графически биномиальный закон распределения случайной величины x при n = 8, p = 1/2, q = 1/2.

Решение. Определим все значения вероятностей, входящие в таблицу:

Построим многоугольник распределения (рис. 3).

Рис. 3.

55. Какова вероятность того, что событие A произойдет два раза:

а) при 2-х испытаниях;

б) при 3-х испытаниях;

в) при 10 испытаниях,

если вероятность появления события при каждом испытании равняется 0, 4?

Решение. а) Здесь n = 2, p = 0, 4, q = 0, 6:

P ;

б) здесь n = 3, p = 0, 4, q = 0, 6:

P ;

в) здесь n = 10, p = 0, 4, q = 0, 6:

P .

56. По цели производится 5 независимых выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0, 2. Для поражения цели достаточно трех попаданий. Определить вероятность поражения цели.

Решение. Здесь n= 5, p = 0, 2, q = 0, 8. Очевидно, что вероятность поражения следует вычислять по формуле

p_пор = Р(x = ) + Р(x = ) + Р(x = )

или по формуле

p_пор = 1 - [Р(x = ) + Р(x = ) + Р(x = )].

По первой формуле имеем

p_пор = + + =

= .

57. Производится четыре независимых испытания. Вероятность появления события A при каждом испытании 0, 5. Определить вероятность того, что событие A появится не менее двух раз.

Решение. Здесь n = 4, p = 0, 5, q = 0, 5:

P = P + P + P ,

или

P = 1 - .

Вычислим вероятность

.

Следовательно, по второй из формул получаем

P = 1 – [(0, 5)⁴ - 4× (0, 5)⁴] = 0, 6875» 0, 69.

58. Вероятность брака в данной партии деталей р = 0, 1. Какова вероятность того, что в партии из 3-х деталей будет m = 0, 1, 2, 3 бракованных деталей?

Решение.

P = = 1× (0, 9)³ = 0, 729,

P = = × 0, 1× (0, 9)² = 0, 243,

P = = × (0, 1)²× 0, 9 = 0, 027,

P = = 0, 001.

59. Вероятность попадания при одном выстреле p = 0, 2. Определить расход снарядов, обеспечивающих математическое ожидание числа попаданий, равное 5:

снарядов.

60. Производится один выстрел по объекту. Вероятность попадания р. Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение. Строим таблицу значений числа попаданий

х
рk	р	q

где q = 1 - р. Следовательно,

. (5)

61. Случайная величина x задана следующим законом распределения (см. таблицу и рис. 6):

х
pk	0, 3	0, 4	0, 3

Определить: 1) математическое ожидание, 2) дисперсию, 3) среднее квадратическое отклонение.

Решение.

1. М[ х ] = 2× 0, 3 + 3× 0, 4 + 4× 0, 3 = 3,

2. D[ x ] = (2-3)²× 0, 3 + (3-3)²× 0, 4 + (4-3)²× 0, 3 = 0, 6,

3. [ х ] = = 0, 77.

Рис. 6.	Рис. 7.	Рис. 8.

62. Случайная величина x задана следующим законом распределения (см. таблицу и рис. 7):

x
pk	0, 3	0, 4	0, 3

Определить: 1) математическое ожидание, 2) дисперсию, 3) среднее квадратическое отклонение.

Решение.

1. М[ х ] = 1× 0, 3 + 3× 0, 4 + 5× 0, 3 = 3,

2. D[ x ] = (1-3)²× 0, 3 + (3-3)²× 0, 4 + (5-3)²× 0, 3 = 2, 4,

3. [ х ] = = 1, 55.

Рассеивание, разброс случайной величины в первом примере меньше рассеивания случайной величины во втором примере (см. рис. 7 и 8). Дисперсии этих величин соответственно равны 0, 6 и2, 4.

63. Случайная величина х задана следующим законом распределения (см. таблицу и рис. 8):

х
р

Определить: 1) математическое ожидание, 2) дисперсию, 3) среднее квадратическое отклонение.

Решение.

1. М[ х ] = 3× 1 = 3,

2. D[ x ] = (3-3)²× 1 = 0,

3. [ х ] = 0.