Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема 1. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

.

Теорема 2. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле

.

Теорема 3. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что имело место первое событие

.

Следствие. Если события A и B независимы, то .

Совокупность нескольких событий, из которых хотя бы одно обязательно появится при проведении испытания, называется полной группой событий. Два события, образующие полную группу, называются противоположными.

Сумма вероятностей противоположенных событий равна единице

.

Примеры

1. На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из букв: А, В, К, М, О, С. Карточки вынимают случайным образом по одной и располагают в ряд.

Найти вероятность того, что:

а) на первых четырех вынутых карточках можно будет прочитать слово КВАС;

б) если разложить в ряд все шесть карточек, то можно будет прочитать слово МОСКВА.

Решение. а) Четыре карточки из шести можно выбрать числом способов, равных числу размещений из шести элементов по четыре. То есть, , . Тогда, согласно классическому определению вероятности .

б) Число способов, которыми можно разложить все шесть карточек, будет равно числу перестановок из шести элементов: , . Тогда, .

2. В корзине 15 плодов, из которых 5 поражены болезнью. Из корзины наудачу берут 4 плода.

Какова вероятность того, что:

а) все взятые плоды будут здоровы;

б) только 3 плода из 4 окажутся здоровыми?

Решение. а) Число способов, которыми можно выбрать 4 плода из 15, равно числу сочетаний из 15 по 4 – , а число способов, которыми можно выбрать только здоровые плоды, равно числу сочетаний из 10 по 4 – . Значит, , и, соответственно . Тогда, согласно определению вероятности, .

б) Выбор 3 здоровых плодов и одного пораженного может быть реализован способами, тогда .

3. Из колоды карт (36 карт) наудачу вынимают 3 карты.

Найти вероятность того, что среди них окажется только один туз.

Решение. Всего возможных разных комбинаций вынуть 3 карты из колоды в 36 карт – . Одного туза мы можем выбрать способами, две остальные карты можно выбрать способами. Итого, благоприятных вариантов . Вероятность того, что среди трех карт окажется точно один туз, равна .

4. В партии из 100 изделий 10 изделий бракованных.

Какова вероятность того, что среди взятых 4 изделий 3 будут не бракованные?

Решение. Взять 4 изделия из 100 можно следующим числом способов: . Число случаев, когда среди этих 4-хизделий будут 3 не бракованные, равно .

Искомая вероятность будет

.

5. Вероятность попадания в некоторую цель при стрельбе из первого орудия равна , при стрельбе из другого орудия – .

Найти вероятность поражения цели при одновременном выстреле обоих орудий. Цель будет поражена, если будет хотя бы одно попадание из какого-либо орудия.

Решение. Используем формулу сложения совместных событий

,

где A – попадание в цель первым орудием, B – попадание в цель вторым орудием.

Тогда

.

6. Из колоды в 36 карт вынимается одна карта. Какова вероятность появления карты пиковой масти?

Решение. Событие A – появление карты пиковой масти. Здесь всего случаев n = 36. Число случаев, благоприятных событию A: m = 9.

Следовательно, .

7. Бросаются одновременно две монеты. Какова вероятность выпадения герба на обеих монетах (двух гербов)?

Решение. Составим схему возможных случаен.

	Первая монета	Вторая монета
1-й случай 2-й случай 3-й случай 4-й случай	герб герб не герб не герб	герб не герб герб не герб

Всего случаев 4. Благоприятствующих случаев 1.

Следовательно, вероятность выпадения герба на обеих монетах будет

p = 1/4.

8. Производится стрельба по некоторой области D, состоящей из трех непересекающихся зон (рис. 1). Вероятность попадания в зону I: Р (A ₁) = 0, 05, в зону II: Р (А ₂) = 0, 1, в зону III: Р (А ₃) = 0, 17. Какова вероятность попасть в область D.

Рис. 1.

Решение. Событие A – попадание в область D:

Р ( A ) = Р ( A ₁ ) + Р ( А ₂ ) + Р ( А ₃ ) = 0, 05 + 0, 1 + 0, 17 = 0, 32.

9. Из двух танков стреляют по одной цели. Вероятность попадания из 1-го танка , из 2-го – . Из обоих танков делается одновременно по одному выстрелу. Определить вероятность того, что будет иметь место два попадания в цель.

Решение. Здесь Р (А) = , Р (В) = ; Р (А × В) – вероятность двух попаданий – находится по формуле:

Р (А × В) = × = .

10. Безотказная работа прибора определяется безотказной работой каждого из 3-х узлов, составляющих прибор. Вероятность безотказной работы узлов за некоторый цикл соответственно равна p ₁ = 0, 6; p ₂ = 0, 7; р ₃ = 0, 9. Найти вероятность безотказной работы прибора за указанный цикл.

Решение. По теореме умножения вероятностей будем иметь:

p = р ₁× р ₂× р ₃ = 0, 6× 0, 7× 0, 9 = 0, 378.

11. В урне находится 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар (первое вынимание), а затем второй (второе вынимание). Событие B – появление белого шара при первом вынимании. Событие A – появление белого шара при втором вынимании.

Очевидно, что вероятность события A, если событие B произошло, будет

Р (A / В) = 2/4 = 1/2.

Вероятность события A при условии, что событие B не произошло (при первом вынимании появился черный шар), будет

Р (А / ) = 3/4.

Видим, что

Р (А / В) ¹ Р (А / ).

12. Вероятность изготовления годного изделия данным станком равна 0, 9. Вероятность появления изделия 1-го сорта среди годных изделий есть 0, 8. Определить вероятность изготовления изделия 1-го сорта данным станком.

Решение. Событие B - изготовление годного изделия данным станком, событие A - появление изделия 1-го сорта. Здесь Р ( В ) = 0, 9, Р ( А / В ) = 0, 8. Подставляя в формулу, получаем искомую вероятность

Р ( АВ ) = 0, 9´ 0, 8 = 0, 72.

13. В квадратном окне со стороной a имеется квадратная форточка со стороной b. Во время игры мяч случайно попадает в окно.

Какова вероятность того, что мяч через открытую форточку влетит в комнату, не разбив окна?

Какова вероятность, что окно разобьется?

Решение. Событие A – событие, заключающееся в том, что окно не разобьется; событие B – окно разобьется.

Тогда, ; .

14. Три стрелка стреляют по мишени. Предполагается, что события попадания в мишень для стрелков независимы и вероятности их соответственно равны 0, 9; 0, 8; 0, 7.

Какова вероятность того, что:

а) все три выстрела окажутся успешными?

б) хотя бы один выстрел успешный?

в) только один выстрел окажется успешным?

Решение.

Событие – первый стрелок попал в мишень; ; .

Событие – второй стрелок попал в мишень; ; .

Событие – третий стрелок попал в мишень; ; .

а) Событие B – все три выстрела оказались успешными.

; ; .

б) Событие C – хотя бы один из выстрелов окажется успешным.

.

в) Событие D – один выстрел оказался успешным, два неуспешными.

.

15. Из 30 экзаменационных билетов студент подготовил 25. Если он отказывается отвечать по первому взятому билету (которого он не знает), то ему разрешается взять второй.

Найти вероятность успешной сдачи экзамена, если для этого студент должен ответить на первый билет, или, не ответив на первый, обязательно ответить на второй.

Решение. Событие A – первый билет «хороший», событие B – второй билет «хороший». Событие C – успешная сдача экзамена. Экзамен будет сдан, если произойдет событие A, или одновременно и B, то есть .

Отсюда .