Задача 6. На множестве Х = {1, 2, 3, 4, 5} задано отношение p, хру х >y

На множестве Х = {1, 2, 3, 4, 5} задано отношение p, хру х > y

а) задать отношение перечислением пар;

б) построить граф отношения;

в) определить вид отношения.

Решение.

а) а = {(2, 1); (3, 1); (3, 2); (4, 1); (4, 2); (4, 3); (5, 1); (5, 2); (5, 3); (5, 4)}

б)

 

 

в) Определим, какими свойствами обладает отношение.

1) Сформулируем свойство рефлективности: (" хÎ Х)х > х – Л. Получим ложное высказывание, отношение свойством рефлективности не обладает.

Следовательно, Р не является отношением эквивалентности.

2) Проверим далее остальные свойства.

3) Антирефлексивность: (" xÎ X) –- истинно, обладает.

4) Симметричность: (" х, у Î Х)х > у ® у > х – ложно, не обладает.

5) Антисимметричность: (" х, уÎ Х, х ¹ у) х > у ® – истинно, обладает.

6) Транзитивность: (" х, у, zÎ Х), х > у и у > z ® x > z – истинно, обладает.

7) Связность: (" х, уÎ Х, х ¹ у) х > у или у > х – истинно, обладает.

Отношение р обладает свойствами антисимметричности и транзитивности, значит, оно отношение порядка, а т.к. оно обладает еще свойствами антирефлексивности и связности, то оно – отношение строгого линейного порядка, и множество X этим отношением линейно упорядочено (5 > 4 > 3 > 2 > 1).