Упражнения. 261. На множестве B = {1/2, 3/4, 5/10, 25/50, 6/8 , 4/7} задано отношение «дробь х равна дроби у»

261. На множестве B = {¹/₂, ³/₄, ⁵/₁₀, ²⁵/₅₀, ⁶/₈, ⁴/₇} задано отношение «дробь х равна дроби у». Объясните, почему данное отношение является отношением эквивалентности, и запишите классы раз­биения множества В, определяемые им. Задайте на множестве В какое-нибудь отношение порядка.

262. Элементами множествах являются уравнения:

{2x – 3 = 1, 4х + 1 = – 1, х + 4 = 6, 6х + 5 = 2, – 6х + 9 = – 3, (2х + 1) = 0}.

Объясните, почему отношение «уравнение х равносильно уравнению у»является отношением эквивалентности, и запишите классы разбиения множества X, определяемые данным отношением.

263. Дано множество В = {2× 3, 3× 2, 24 – 18, 2³, 2× 4, 12 – 3}. Какое из следующих отношений определяет разбиение множества на классы:

К – «значение выражения х меньше значения выражения у»;

Р – «значение выражения х равно значению выражения у»? выпишите эти классы?

264. На отрезке целых неотрицательных чисел от 0 до 999 задано отношение «иметь в записи одно и то же число цифр». Покажите, что оно является отношением эквивалентности; назовите наименьший и наибольший элементы каждого класса разбиения данного множества.

265. Сколько классов эквивалентности определяет на множестве целых неотрицательных чисел отношение «оканчивается одной и той же цифрой»? Назовите по одному представителю каждого класса. Задайте на множестве целых неотрицательных чисел какое-либо отношение порядка.

266. Какими свойствами обладают отношения равенства и включения для множеств? Есть ли среди них отношение порядка?

267. Отношение К – «иметь один и тот же остаток при делении на 3» – задано на множестве X = {х/хÎ N, х < 10}. Объясните, почему отношение К является отношением эквивалентности, и запишет классы эквивалентности, определяемые этим отношением.

268. На множестве А = {5, 6, 7, 8, 9, 10} задано отношение р, х р у «х< у. Покажите, что оно является отношением порядка. Являете ли оно отношением линейного порядка?

269. На множестве А = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} задано отношение К, х К у (х + у) 2. Объясните, почему данное отношение является отношением эквивалентности, и запишите классы разбиения множества А, определяемые им.

270. На множестве А = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} задано отношение R, х R у«х у. Покажите, что оно является отношением порядка. Является оно отношением линейного порядка?

271. Определите свойства следующих отношений:

Отношение «человек х одинакового роста с человеком у», заданного на множестве людей.

Отношение Е — «число х является модулем числа у» задано между элементами множеств А = {3, 4, 5, 6} и В = = {–3, –4, 3, 4, 5, –5, –6, 6}. Постройте граф и график отношения Е.

272. Элементы множества окружностей связаны отношением «окружность х касается окружности у».

273. На множестве людей задано отношение «человек х ниже человека у».

274. На множестве людей задано отношение «человек х имеет одинаковый цвет глаз с человеком у».

275. На множестве прямых задано отношение «прямая х перпендикулярна прямой у».

276. На множестве натуральных чисел задано отношение Р — «быть делителем». Какие из пар (2; 15), (3; 12), (10; 150), (17; 17), (6; 15), (24; 6), (9; 1) принадлежат отношению Р?

277. Постройте график отношения, заданного на множестве действительных чисел уравнением: а) 3х + 4у = 12; б) у = 4 – х²; в) (х + 5)² + (у – 2)² = 4; г) у = –х² + 2х – 1; д) ху = 20.

278. Постройте график отношения, заданного на множестве действительных чисел при помощи неравенства:

а) 3х – 5у £ 4;

б) (х – 4)² + (у – 1)² > 36;

в) (х – 2)² + у² £ 4.

279. Сформулируйте свойства отношений «равно», «меньше», «не больше», «меньше на 2», заданных на множестве {1, 3, 5, 7, 9}, и постройте их графы. Какое из этих отношений является отношением: а) эквивалентности; б) порядка?

280. Докажите, что отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 6», заданное на множестве натуральных чисел, является отношением эквивалентности. Сколько классов эквивалентности определяет это отношение?

281. Какие из следующих отношений являются отношениями эквивалентности, а какие — порядка: а) равенство на множестве геометрических фигур; б) подобие на множестве геометрических фигур; в) равносильности на множестве уравнений; г) перпендикулярность на множестве прямых; д) «быть длиннее» на множестве отрезков?

282. Доказать, что вычитание является алгебраической операцией на множестве Z, а деление не является алгебраической операцией.

283. Приведите примеры операций, которые являются алгебраическими на множестве:

а) высказываний; б) всех подмножеств универсального множества И.

284. Доказать, что вычитание является алгебраической операцией на множестве целых чисел, а деление не является на этом же множестве.

По теме данной главы студент должен уметь:

– устанавливать вид соответствия между элементами двух множеств;

– задавать соответствия различными способами.

– определять функциональные соответствия, находить их области определения и значения;

– распознавать прямую и обратную пропорциональность, выделять свойства, присущие только этим функциям и использовать их при решении задач;

– определять отношения эквивалентности, порядка, линейного порядка, доказывать их свойства;

– строить разбиение множества по данному отношению эквивалентности и решать обратную задачу.

– определять является или не является операция алгебраической на заданном множестве.