Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Задача 4. Доказать дистрибутивность слева умножения относительно сложения, т.е





Доказать дистрибутивность слева умножения относительно сложения, т.е.

(" а, b, сÎ N) а(b + с) = аb + ас.

Доказательство:

Пусть натуральные числа а и b выбраны произвольно, а с принимает различные натуральные значения (индукция по с).

Обозначим через М множество всех тех и только тех натуральных чисел с, для которых равенство а(b + с) = аb + ас верно, т.е.

М = {с/сÎ N, а(b + с) = аb + ас}, т.к. с Î N, то М Ì N,

I. Докажем, что 1 Î М, т.е. а × (b + 1) = аb + а× 1.

ab',

а × b + а × 1 а× b + а аb',

получили аb' = аb' – истинно, => 1 Î М.

II. Докажем, что с Î М => с' Î М

Пусть " с Î М, т.е. а(b + с) = аb +ас.

Докажем, что с'Î М, т.е. а(b + с') = аb + ас'.

Преобразуем левую часть равенства к правой части этого равенства.

а(b + с') а(b + с)' a(b + с) + а (аb + ас) + а аb+ (ас + а) аb + ас'

ч.т.д., => с'Î М, тогда М Ì NÙ (1 Î M (с Î М => с' Î М)) => M = N, т.е. равенство а(b + с) = аb+ас истинно для любого натурального числа с, а также для любых натуральных чисел а и b, т.к. они были выбраны произвольно.

Доказательство свойств операций сложения и умножения проводилось на основе аксиомы индукции Пеано (аксиома 4).

Его можно применять для доказательства других утверждений о натуральных числах, опираясь на следующую теорему.

Теорема 5. (Принцип математической индукции).

Если утверждение А(n) с натуральной переменой n истинно – для n = 1, т.е. А(1) – истинно и из того, что оно истинно для n = к, т.е. А(к) – истинно (к – произвольное натуральное число), следует что оно истинно для следующего числа n=к1, то утверждение А(n) истинно для любого натурального числа n.

(к1= к+1)

Доказательство методом математической индукции состоит из двух частей:

1. Доказывают, что А(1) – истинно (n = 1)

2. (П.И.) Предполагают, что утверждение А(к) – истинно (n = k) и, используя это предположенив, доказывают, что А(к1) – истинно (n = к1 = к + 1), т.е.

А(к) Þ А(к1) истинное высказывание.

Если А(1) Ù (А (к) Þ А(к1)) – истинное высказывание, то делают вывод об истинности утверждения А(n) для " nÎ N.

Задача 6. Доказать, что для любого натурального числа n, сумма n первых чисел натурального ряда S (n) = т.е. 1 + 2 + 3 + … + n = - S (n).

Решение.

1. При n = 1 утверждение истинно, т.к. в левой части равенства имеем

S(1)= 1, в правой

2. П.И. (предположение индукции). Пусть при n = к S) – истинно, т.е.

1 + 2 + 3 + … + к = . Докажем, что А(к) Þ А(к+1) – истинно.

Действительно, S (к+1 )= 1 + 2 + … + к + (к + 1) = S)+(к + 1). По предположению S)= , значит, S (к+1 )= +(к+1)= = Таким образом, А(к) Þ А(к1) – истинно.

Следовательно, на основании принципа М.И. данное утверждение S (n) – истинно для любого натурального n.

Задача. Докажем методом М.И., что утверждение (6n – 1) 5 " nÎ N.

1. Пусть n = 1; 61 – 1 = 5; 5: 5 – истинно значит, при n = 1 утверждение истинно.

2. Допустим (П.И.), что при n = к утверждение (6к – 1) 5 – истинно. Докажем, что оно будет истинным, при n = к + 1 = к1, т.е. (6k¢ – 1) 5.

1 способ. Рассмотрим разность (6к+1–1)–(6к–1). После преобразований получаем: 6к+1 – 1 – 6к + 1 = 6к × (6 - 1) = 6к × 5. Произведение (6к × 5) 5, т.к. 5 5, а (6к-1) 5 (по предположению). Получаем 6к+1 1 = (6к – 1) + 6к × 5, т.к. каждое слагаемое делится на пять, то по теореме о делимости суммы (6к+1 – 1) 5.

2 способ. Преобразуем выражение 6к+1 – 1 = 6к × 6 – 1. Прибавим и вычтем число 6, получим 6к+1 – 1 = 6к × 6 – 6 + 6 – 1 = 6(6к – 1) + 5. В полученном выражении (6к – 1) 5 по предположению, а т.к. второе слагаемое 5, то (6(6к – 1) + 5) 5, а это значит (6к+1 – 1) 5.

На основании доказанного и теоремы индукции утверждение (6n – 1) 5 при любом натуральном n.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте и запишите свойства операции сложения.

2. Используя определение сложения, найдите значение выражения:

а) 3 + 2; б) 3 + 3; в) 3 + 4;

3. Какие законы сложения изучаются в начальном курсе математики? Приведите примеры.

4. Объясните, какие теоретические положения используются при нахождении суммы 6 + 3:

6 + 3 = 6 +(2 + 1) = (6+ 2)+1 = 8+1 = 9.

5. Используя определение умножения, найдите значение выражения:

а) 3 × 2; б) 3 × 3; в) 3 × 4.

6. Сформулируйте и запишите свойства операции умножения.

7. Какие законы умножения изучают в начальном курсе математики? Приведите примеры их использования.

8. Дайте определение отношения «меньше» («больше») для натуральных чисел.

9. Какое из отношений:

а) отношение «меньше»;

б) отношение «больше»;

в) отношение «непосредственно следовать за»является отношением порядка?

10. Запишите законы монотонности сложения и умножения натуральных чисел. Какие свойства неравенств они выражают?

11. Сформулировать принцип математической индукции.







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 6345. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...


Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...


Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Тактические действия нарядов полиции по предупреждению и пресечению групповых нарушений общественного порядка и массовых беспорядков В целях предупреждения разрастания групповых нарушений общественного порядка (далееГНОП) в массовые беспорядки подразделения (наряды) полиции осуществляют следующие мероприятия...

Механизм действия гормонов а) Цитозольный механизм действия гормонов. По цитозольному механизму действуют гормоны 1 группы...

Алгоритм выполнения манипуляции Приемы наружного акушерского исследования. Приемы Леопольда – Левицкого. Цель...

Предпосылки, условия и движущие силы психического развития Предпосылки –это факторы. Факторы психического развития –это ведущие детерминанты развития чел. К ним относят: среду...

Анализ микросреды предприятия Анализ микросреды направлен на анализ состояния тех со­ставляющих внешней среды, с которыми предприятие нахо­дится в непосредственном взаимодействии...

Типы конфликтных личностей (Дж. Скотт) Дж. Г. Скотт опирается на типологию Р. М. Брансом, но дополняет её. Они убеждены в своей абсолютной правоте и хотят, чтобы...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.009 сек.) русская версия | украинская версия