Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Задача 4. Доказать дистрибутивность слева умножения относительно сложения, т.е





Доказать дистрибутивность слева умножения относительно сложения, т.е.

(" а, b, сÎ N) а(b + с) = аb + ас.

Доказательство:

Пусть натуральные числа а и b выбраны произвольно, а с принимает различные натуральные значения (индукция по с).

Обозначим через М множество всех тех и только тех натуральных чисел с, для которых равенство а(b + с) = аb + ас верно, т.е.

М = {с/сÎ N, а(b + с) = аb + ас}, т.к. с Î N, то М Ì N,

I. Докажем, что 1 Î М, т.е. а × (b + 1) = аb + а× 1.

ab',

а × b + а × 1 а× b + а аb',

получили аb' = аb' – истинно, => 1 Î М.

II. Докажем, что с Î М => с' Î М

Пусть " с Î М, т.е. а(b + с) = аb +ас.

Докажем, что с'Î М, т.е. а(b + с') = аb + ас'.

Преобразуем левую часть равенства к правой части этого равенства.

а(b + с') а(b + с)' a(b + с) + а (аb + ас) + а аb+ (ас + а) аb + ас'

ч.т.д., => с'Î М, тогда М Ì NÙ (1 Î M (с Î М => с' Î М)) => M = N, т.е. равенство а(b + с) = аb+ас истинно для любого натурального числа с, а также для любых натуральных чисел а и b, т.к. они были выбраны произвольно.

Доказательство свойств операций сложения и умножения проводилось на основе аксиомы индукции Пеано (аксиома 4).

Его можно применять для доказательства других утверждений о натуральных числах, опираясь на следующую теорему.

Теорема 5. (Принцип математической индукции).

Если утверждение А(n) с натуральной переменой n истинно – для n = 1, т.е. А(1) – истинно и из того, что оно истинно для n = к, т.е. А(к) – истинно (к – произвольное натуральное число), следует что оно истинно для следующего числа n=к1, то утверждение А(n) истинно для любого натурального числа n.

(к1= к+1)

Доказательство методом математической индукции состоит из двух частей:

1. Доказывают, что А(1) – истинно (n = 1)

2. (П.И.) Предполагают, что утверждение А(к) – истинно (n = k) и, используя это предположенив, доказывают, что А(к1) – истинно (n = к1 = к + 1), т.е.

А(к) Þ А(к1) истинное высказывание.

Если А(1) Ù (А (к) Þ А(к1)) – истинное высказывание, то делают вывод об истинности утверждения А(n) для " nÎ N.

Задача 6. Доказать, что для любого натурального числа n, сумма n первых чисел натурального ряда S (n) = т.е. 1 + 2 + 3 + … + n = - S (n).

Решение.

1. При n = 1 утверждение истинно, т.к. в левой части равенства имеем

S(1)= 1, в правой

2. П.И. (предположение индукции). Пусть при n = к S) – истинно, т.е.

1 + 2 + 3 + … + к = . Докажем, что А(к) Þ А(к+1) – истинно.

Действительно, S (к+1 )= 1 + 2 + … + к + (к + 1) = S)+(к + 1). По предположению S)= , значит, S (к+1 )= +(к+1)= = Таким образом, А(к) Þ А(к1) – истинно.

Следовательно, на основании принципа М.И. данное утверждение S (n) – истинно для любого натурального n.

Задача. Докажем методом М.И., что утверждение (6n – 1) 5 " nÎ N.

1. Пусть n = 1; 61 – 1 = 5; 5: 5 – истинно значит, при n = 1 утверждение истинно.

2. Допустим (П.И.), что при n = к утверждение (6к – 1) 5 – истинно. Докажем, что оно будет истинным, при n = к + 1 = к1, т.е. (6k¢ – 1) 5.

1 способ. Рассмотрим разность (6к+1–1)–(6к–1). После преобразований получаем: 6к+1 – 1 – 6к + 1 = 6к × (6 - 1) = 6к × 5. Произведение (6к × 5) 5, т.к. 5 5, а (6к-1) 5 (по предположению). Получаем 6к+1 1 = (6к – 1) + 6к × 5, т.к. каждое слагаемое делится на пять, то по теореме о делимости суммы (6к+1 – 1) 5.

2 способ. Преобразуем выражение 6к+1 – 1 = 6к × 6 – 1. Прибавим и вычтем число 6, получим 6к+1 – 1 = 6к × 6 – 6 + 6 – 1 = 6(6к – 1) + 5. В полученном выражении (6к – 1) 5 по предположению, а т.к. второе слагаемое 5, то (6(6к – 1) + 5) 5, а это значит (6к+1 – 1) 5.

На основании доказанного и теоремы индукции утверждение (6n – 1) 5 при любом натуральном n.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте и запишите свойства операции сложения.

2. Используя определение сложения, найдите значение выражения:

а) 3 + 2; б) 3 + 3; в) 3 + 4;

3. Какие законы сложения изучаются в начальном курсе математики? Приведите примеры.

4. Объясните, какие теоретические положения используются при нахождении суммы 6 + 3:

6 + 3 = 6 +(2 + 1) = (6+ 2)+1 = 8+1 = 9.

5. Используя определение умножения, найдите значение выражения:

а) 3 × 2; б) 3 × 3; в) 3 × 4.

6. Сформулируйте и запишите свойства операции умножения.

7. Какие законы умножения изучают в начальном курсе математики? Приведите примеры их использования.

8. Дайте определение отношения «меньше» («больше») для натуральных чисел.

9. Какое из отношений:

а) отношение «меньше»;

б) отношение «больше»;

в) отношение «непосредственно следовать за»является отношением порядка?

10. Запишите законы монотонности сложения и умножения натуральных чисел. Какие свойства неравенств они выражают?

11. Сформулировать принцип математической индукции.







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 6345. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...


Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...


Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Метод архитекторов Этот метод является наиболее часто используемым и может применяться в трех модификациях: способ с двумя точками схода, способ с одной точкой схода, способ вертикальной плоскости и опущенного плана...

Примеры задач для самостоятельного решения. 1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P   1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P...

Дизартрии у детей Выделение клинических форм дизартрии у детей является в большой степени условным, так как у них крайне редко бывают локальные поражения мозга, с которыми связаны четко определенные синдромы двигательных нарушений...

Потенциометрия. Потенциометрическое определение рН растворов Потенциометрия - это электрохимический метод иссле­дования и анализа веществ, основанный на зависимости равновесного электродного потенциала Е от активности (концентрации) определяемого вещества в исследуемом рас­творе...

Гальванического элемента При контакте двух любых фаз на границе их раздела возникает двойной электрический слой (ДЭС), состоящий из равных по величине, но противоположных по знаку электрических зарядов...

Сущность, виды и функции маркетинга персонала Перснал-маркетинг является новым понятием. В мировой практике маркетинга и управления персоналом он выделился в отдельное направление лишь в начале 90-х гг.XX века...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия