Задача 3. Доказать свойство ассоциативности операции сложения, т.е

Доказать свойство ассоциативности операции сложения, т.е. (" а, b, c Î N)(а + b) + с = а + (b + с).

Решение.

Будем пользоваться аксиомой индукции A₄.

Пусть натуральные числа а и b выбраны произвольно, а с принимает различные натуральные значения (индукция по с).

Обозначим через М множество всех тех и только тех натуральных чисел с, для которых равенство (а + b) + с = а + (b + с) верно.

M = {с\сÎ N, (а + b) + с = а + (b + с)}; т.к. с Î N, то М Ì N.

1. Докажем сначала, что 1 Î M, т.е. убедимся в справедливости ра­венства (а + b) + 1 = а + (b + 1). Действительно, по определению сложения, имеем (а + b) + 1 (а + b)' а + b' a + (b + 1), что и требовалось доказать (ч.т.д.) => 1 Î M.

2. Докажем теперь, что если сÎ M => с 'Î M. Пусть " с Î M (это предположение индукции – П.И.), т.е. равенство

(a + b) + c = а + (b + с) верно, докажем, что с 'Î M, т.е. равенство (а +b) + с' = а + (b + с') верно. Верность числовых равенств можно доказать одним из следующих приемов:

§ взять левую часть равенства, путем преобразований получить правую часть равенства;

§ взять правую часть равенства, путем преобразования получить левую часть равенства;

§ преобразовывая левую и правую части равенства, получить одинаковые числовые выражения.

Будем преобразовывать левую часть равенства.

(а + b) + с' ((а + b) + с)' (а + (b + с)) ' а + (b + с)' а +(b + с') ч.т.д. => с' Î M.

Итак, мы показали, что

M Ì N Ù (1Î M Ù (" с Î M Þ с'Î M)) => М = N, т. е. равенство (а + b) + с = а + (b + с) истинно для любого натурального числа с, а т.к. а и b выбирались произвольно, то оно справедливо для любых натуральных чисел а и b, что и требовалось до­казать.