Задача 8. На множестве натуральных чисел, кратных 5, заданы операции: сложение, вычитание

На множестве натуральных чисел, кратных 5, заданы операции: сложение, вычитание. Какие из них являются на этом множестве:

а) алгебраическими;

б) частично алгебраическими?

Решение. Пусть Х – множество натуральных чисел, кратных 5.

Любое натуральное число, кратное 5, имеет вид 5 п, где пÎ N.

Пусть 5 n и 5 m – два натуральных числа из множества Х, n Î N, mÎ N.

Тогда 5n + 5m= 5(n + m), причем (n + m) – сумма двух натуральных чисел, и, значит, число натуральное и единственное. Следовательно, складывая два любых натуральных числа, кратных 5, мы всегда получаем число, кратное 5, и это число единственное. Таким образом сложение на данном множестве Х есть алгебраическая операция.

Рассмотрим вычитание на множестве Х: 5n – 5m = 5(n – m), но n – m существует на множестве натуральных чисел лишь при условии, что n > m, то разность 5n – 5m существует и является числом, кратным 5. Таким образом, вычитание на множестве Х есть частичная алгебраическая операция.

Контрольные вопросы

1. Что называется отношением на множестве А? Приведите примеры отношения на множестве А = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

2. Сформулируйте свойства отношения эквивалентности, приведите примеры.

3. Сформулируйте свойства отношения порядка, отношения строгого линейного порядка, приведите примеры.

4. Какова связь отношения эквивалентности, заданного на множестве, и разбиения множества на классы? Приведите примеры.

5. Сформулировать определение алгебраической операции на множестве Х.

6. Приведите примеры алгебраических операций на множестве целых чисел.

7. Приведите примеры операций, не являющихся алгебраическими на множестве целых чисел.