Задача 7. На множестве Х= {х/х Î N, х < 12} задано отношение К – «иметь один и тот же остаток при делении на 4»

На множестве Х= {х/х Î N, х < 12} задано отношение К – «иметь один и тот же остаток при делении на 4». Объясните, почему отношение К является отношением эквивалентности, и запишите классы разбиения множества, определяемые этим отношением.

Решение. Отношение К является отношением эквивалентности, т.к. оно рефлексивно (можно сказать, что любое число имеет один и тот же остаток при делении на 4 с самим собой), симметрично (если число х имеет один и тот же остаток при делении на 4 с числом у, то и число у имеет один и тот же остаток при делении на 4 с числом х), транзитивно (если число х имеет при делении на 4 тот же остаток, что и число у, а число у имеет при делении на 4 тот же остаток, что и число z, то числа х и z имеют равные остатки при делении на 4).

Как известно, любое отношение эквивалентности, заданное на множестве X, определяет разбиение этого множества на классы таким образом, что в один класс попадают элементы, находящиеся в данном отношении, а в разные классы – не находящиеся в нем. Таким образом, каждый класс будет состоять из чисел, дающих один и тот же остаток при делении на 4. Таких классов 4: {1, 5, 9}, {2, 6, 10}, {3, 7, 11}, {4, 8, 12}.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

Определение 10. Алгебраической операцией на множестве Х называется соответствие, при котором каждой паре элементов из множества Х соответствует единственный элемент этого же множества.

Условились алгебраические операции обозначить символами (читается «звездочка») и (читается «кружок»).

Определение алгебраической операции символически можно записать так: - алгебраическая опреация на множестве Х, если (" х, у Î Х) ($! z Î Х) х у= z.

Определение 11. Частичной алгебраической операцией на множестве называется соответствие, при котором некоторым парам элементов из множества Х соответствует единственный элемент того же множества.

Свойства алгебраических операций

1. Алгебраическая операция, заданная на множестве Х, называется ассоциативной (обладает свойством ассоциативности), если для любых элементов х, у, z из множества Х выполняется равенство (х у) z = х (у z).

2. Алгебраическая операция на множестве Х называется коммутативной (обладает свойством коммутативности), если для любых двух элементов х и у из множества выполняется равенство х у = у х.

3. Алгебраическая операция называется дистрибутивной (обладает свойством дистрибутивности) относительно алгебраической операции , если для любых элементов у, х, и z из множества X выполняются равенства:

1 ) (х у) z = (х у) (у z) и 2) х (у z) = (х у) (х z)

4. Алгебраическая операция, заданная на множестве Х, называется сократимой (обладает свойством сократимости), если из условий а х = а у и х а = у а следует, что х = у для любых элементов а, х, у.