Упражнения. 289. Доказать коммутативный закон сложения натуральных чисел

289.Доказать коммутативный закон сложения натуральных чисел.

290. Составить таблицу прибавления 3 со всеми теоретическими обоснованиями.

291. Доказать, что для любых натуральных чисел а и b верны утверждения:

a) а +b ¹ b

б) а +b > a Ù a + b > b

292. Доказать, что для любых натуральных чисел а, b и с верны утверждения:

a) а= b => а + с = b + с;

б) а + b= а + с => b = с;

в) а = b => ас = bс;

г) ас = bс => а = b;

д) аb = ас => b = с.

293. Составить таблицу прибавления 4 со всеми теоретическими обоснованиями.

294. Докажите, что для любых натуральных чисел а, b и с верны утверждения:

а) а< b => а + с < b + с;

б) а + с < b + с => а < b;

в) а + b < а + с => b < с;

г) а > b => а + с > b + с;

д) а + с > b + с => а > b;

е) а + b > a + с => b > c.

295. Составить таблицу прибавления 5 и 6 со всеми теоретическими обоснованиями.

296. Составить таблицу прибавления 7, 8 и 9 со всеми теоретическими обоснованиями.

297. Применяя законы сложения вычислить результат; каждый случай применения законов объяснить:

а) 57689+ 48997+ 42311;

б) 73562 + 3463 + 26438;

в) 3186+ 48763+ 6814;

г) 6747+17896+ 3253;

д) 42879+ (37999+ 57121).

298. Доказать дистрибутивность справа умножения относительно сложения.

299. Докажите, что для любых натуральных чисел а, b и с верны утверждения:

а) а < b => ас < bс;

б) ас < bс => а < b;

в) аb < ас => b < с;

г) а > b => ас > bс;

д) ас > bс => а > b;

е) аb > ас => b > с.

300. Доказать, что каждое из ниже указанных отношений, заданных на множестве натуральных чисел, является отношением порядка:

а) отношение «меньше»;

б) отношение «больше».

301. Доказать, что для любых натуральных чисел а и b существует такое натуральное число п, что пb > а. Привести примеры.

302. Используя определения отношений «меньше», «больше», докажите истинность следующих утверждений:

а) 5 < 7;

б) 6 > 3.

303. Используя теоретические положения, объясните истинности следующих утверждений:

а) 3 + 7 > 3 + 6;

б) 5 + 4 < 9 + 4;

в) 4 ∙ 7 > 4 ∙ 5;

г) 3 ∙ 6 < 5 ∙ 6;

д) 5 ∙ 7 < 7 ∙ 9;

е) 5 + 4> 4 + 3;

ж) 7 ∙ 4 > 4 ∙ 3;

з) 3 + 6 < 6 + 5.

304. Какие теоретические положения неявно используют учащиеся при выполнении задания:

а) заполни пропуски так, чтобы получились верные равенства и неравенства:

9 ∙ 6 = 6 ∙ □; 8 ∙ 3 > 8 ∙ □; 78 + 18 < 78 + □.

б) верны ли следующие записи:

32 + 40 < 32; 27 + 30 > 27?

в) >; <?

70 + 15 * 70 + 18; 14 + 46 * 12 + 46.

305.Какие свойства умножения могут быть использованы принахождении значения выражения:

а) 5 ∙ (10 + 6);

б) 125 ∙ 14 ∙ 5;

в) (8 ∙ 137) ∙ 125;

г) 48 ∙ 125?

306. Известно, что 37 ∙ 3 = 111. Используя это равенство, вычислите:

а) 37 ∙ 21; б) 185 ∙ 18.

307. Опираясь на коммутативные законы умножения и сложения, напишите выражения, равные (т + п) ∙ а.

308. Составить со всеми теоретическими обоснованиями таблицы умножения на числа:

а) 3; б) 4; в) 5; г) 6 и 7; д) 8 и 9.

309. Применяя законы умножения, вычислите результат:

а) 4 ∙ 5 ∙ 2 ∙ 25 ∙ 17;

б) 8 ∙ 7252 ∙ 125;

в) 7546 ∙ 5 ∙ 25 ∙ 4 ∙ 2;

г) 2 ∙ 3246 ∙ 5 ∙ 250 ∙ 4;

д) 4 ∙ 6524 ∙ 25.

310.Какие свойства умножения будут использовать учащиеся начальных классов, выполняя следующие задания:

1) Можно ли, не вычисляя, сказать, значения каких выражений будут одинаковы:

а) 2 ∙ 5 + 2 ∙ 3; б) 5 ∙ (3 + 2); в) (5 + 3) ∙ 2.

2) Верны ли равенства:

а) 19 ∙ 5 ∙ 2 = 19 ∙ (5 ∙ 2); в) 3 ∙ 5 + 8 ∙ 5 = (3 + 8) ∙ 5;

б) (4 ∙ 10) ∙ 13 ∙ 4 ∙ 10 ∙ 31; г) 7 ∙ (6 + 8) = 7 ∙ 6 + 8 ∙ 7.

3) Можно ли, не выполняя вычислений, сравнить значения выражений:

а) 60 ∙ 42 + 3 ∙ 42…63 ∙ 40 + 63 ∙ 2;

б) 59 ∙ 90 + 59 ∙ 5…50 ∙ 95 + 9 ∙ 95.

311. Не выполняя вычисления, вместо звездочки поставьте знак = или <, чтобы получилось истинное высказывание:

а) 354 + 246 * 354 + 246;

б) 273 + 475 * 237 + 456;

в) 271 + 543 * 271+ 537;

г) 237 + 425 * 273 + 425;

д) 546 ∙ 34 * 546-31;

е) 329 ∙ 78 * 329 ∙ 84;

ж) 513 ∙ 73 * 513 ∙ 73;

з) 275 ∙ 94 * 257 ∙ 94;

и) 25 ∙ 41 + 4 ∙ 41 * 20 ∙ 41 + 9 ∙ 41;

к) 73 ∙ 28 + 5 ∙ 29 * 20 ∙ 78 + 9 ∙ 78;

л) 53 ∙ 38 + 4 ∙ 38 * 30 ∙ 59 + 8 ∙ 59;

м) 32 ∙ 52 + 5 ∙ 52 * 50 ∙ 32 + 2 ∙ 32.

Доказать методом М.И. следующие предложения:

1) (8ⁿ + 6): 7

2) 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n²

3) 1² + 2² + 3² + … + n² =

4) (n³ + 5n): 6

5) (6^2n-1 + 1): 7

6) (4ⁿ – 1): 3

Дать теоретическое обоснование вашему выбору.

312. Сформулировать и дать теоретическое обоснование правил:

а) прибавления числа к сумме;

б) прибавления суммы к числу;

в) прибавления суммы к сумме. Проиллюстрировать примерами.