ПОРЯДКОВЫЕ И КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

В основу теории положены понятия конечного множества и вза­имно-однозначного соответствия.

Два конечных множества А и В называются равномощными, или равночисленными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие.

А~ВÛ А< > В.

Отношение «Множество А равночисленно множеству В» рефлексивно, симметрично и транзитивно. Следовательно, отношение равночисленности является отношением эквивалентности и определяет разбиение совокупности всех конечных множеств на классы эквива­лентности.

В одном классе содержатся самые различные множества; общим для всех их является то, что все они равночисленны, то есть содержат одинаковое количество элементов. Например, в классе, содержащем множество {а; b}, содержатся такие множества, как множество глаз у человека, множество крыльев у птицы, множество диагоналей квадрата и так далее.

______________________________________________________________________

Определение 1. Натуральным числом называется общее свойство класса непустых конечных, равномощных (эквивалентных) друг другу множеств. Этим общим свойством является численность множеств. Численность множества А обозначается: п (А) или ç А ê

___________________________________________________________________________________________________

Если А₁~А₂~Аз~...~А_k, то п(А_]) = n(А₂) =...= n(А_k) = а (то есть все множества из одного класса). Получаемое в этом случае число а есть количественное натуральное число.

Добавляя к любому конечному множеству один элемент, не содержащийся в нем, получим новое множество, не эквивалентное исходному. Продолжая этот процесс, мы получим бесконечную последовательность не эквивалентных друг другу множеств и определенный ею ряд натуральных чисел, изображенный символами 1, 2, 3, 4,..., n, ….

Число «нуль» также имеет теоретико-множественное истолкование – оно ставится в соответствие «пустому» множеству: 0 = n(Æ), обозначим N₀=N - множество целых неотрицательных чисел.

Рассмотрим два конечных множества А и В. Пусть n(А)=а; n(В)=b.

______________________________________________________________________

Определение 2. Говорят, что а = b тогда и только тогда, когда множества А и В принадлежат одному и тому же классу, то есть А~В;

___________________________________________________________________________________________________

 

А В

 

 

a = bÛ А~В

 

Если А и В неэквивалентны, то множества А и В принадлежат разным классам, а поэтому соответствующие им числа различны.

______________________________________________________________________

Определение 3. Говорят, что число а меньше числа b тогда и только тогда, когда множество А равномощно собственному подмножеству конечного множества В.

(а < b) Û (A~B₁, где В₁Ì В; В₁¹ ВÙ В₁¹ Æ)

___________________________________________________________________________________________________

 

Проиллюстрируем это определение, используя круги Эйлера-Венна

 

А В

 

В₁

 

 

или

 

 

В1	- А     - В

 

__________________________________________________________________________________

Определение 4. Отрезком натурального ряда N_а называется множество натуральных чисел, не превосходящих натуральное число а.

___________________________________________________________________________________________________

N_а = {х\х Î N, х£ а}.

Например: N₄ = {х|х Î N, х£ 4}={1, 2, 3, 4}.

______________________________________________________________________

Определение 5. Множество А называется конечным, если су­ществует взаимно однозначное соответствие между элементами и некоторым отрезком N_a натурального ряда чисел.

___________________________________________________________________________________________________

Число а является количеством элементов множества А: а = п(А)

Теорема 1. Одно и то же множество А не может быть взаимно од­нозначно отображено на два различных отрезка натурального ряда чисел.

Взаимно однозначное отображение множества А на отрезок N_a можно понимать как нумерацию элементов множества А: А «N_a

Этот процесс нумерации называют СЧЕТОМ.

При пересчете элементы конечного множества А не только расставляются в определенном порядке (при этом используются порядковые натуральные числа, выражаемые числительными «первый» «второй», «третий» и так далее), но и устанавливается также, сколько элементов содержит множество А (при этом используются количес­твенные натуральные числа, выражаемые числительными «один» «два», «три» и так далее.).

Тесная связь порядкового и количественного натурального числа нашла отражение и в начальном обучении математике. С этими чис­лами учащиеся знакомятся уже при изучении чисел первого десятка. Происходит это при счете элементов различных множеств.