Задача 3. 1. Доказать свойство ассоциативности операции сложения

1. Доказать свойство ассоциативности операции сложения.

2. Дать теоретико-множественное истолкование правила вычита­ния числа из суммы.

Решение. 1. Докажем, что (" а, b, cÎ N)(а + b) + с = a + (b + с).

Дадим теоретико-множественное истолкование числовых выра­жений, записанных в левой и правой частях этого числового раве­нства. Пусть

а = п(А); b = п(В); с = п(С); тогда а + b = п(АÈ В), если АÇ В = Æ, (а + b) + с = п((А È В)È С), если (АÈ В) Ç С = Æ,

b + с = п(В È C), если В Ç С = Æ, а +(b + с) = п(А È (В Ç С)), если А Ç (ВÈ С) = Æ.

Используя диаграммы Эйлера-Венна, множества А, В и С можно изобразить так:

 

Пользуясь свойством ассоциативности операции объединения множеств, получаем

(" A, B, С) (A È B ) È C = А È (В È С) Þ п((АÈ B)È С) = п(АÈ (ВÈ С)) Þ (а +b) + с = а + (b + с)

(равные множества имеют и равное число элементов).

2. Рассмотрим один из способов вычитания, например (а + b)–с =(а – с)+b, если а> с. Пусть а = п(А); b = п(В); с = п(С). Дадим теоре­тико-множественное истолкование числовых выражений, запи­санных в левой и правой частях этого числового равенства. Для левой части равенства получим:

а + b = п(А È В), если А Ç B = Æ,

(а + b) – с = п((АÈ В)\С), если С Ì А È В.

Используя диаграммы Эйлера-Венна, множества А и В можно изобразить так:

 

 

Множество С может быть подмножеством А или В. Рассмотрим случай, когда С Ì А.

В правой части равенства получим:

а – с = п(А\C, т.к. С Ì А, (а – с) + b = п((А\С) È В), если (А\С) Ç B = Æ.

 

В этом случае множества изображаются так:

 

В

 

 

В левой части равенства круг для множества С расположен внутри круга для множества А.

Можно доказать, что (А È В) \ С = (А \ С) È В. Так как равные множества имеют равное число элементов, получаем:

п((АÈ В)\С) = п((А \С) È В) => (а + b) – с = (а – с) + b.