Задача 5. Решить и обосновать выбор действий

Решить и обосновать выбор действий.

1. У Кати было 3 шара, а у Тани на 1 шар больше. Сколько шаров было у Тани?

2. В парке 7 берез, а елей на 2 меньше. Сколько елей в парке?

3. На верхней полке 9 книг, а на нижней 5. На сколько книг больше на верхней полке, чем на нижней?

Решение.

Переведем условие и вопрос задач на язык теории множеств.

1. Пусть А – множество шаров у Кати, по условию задачи п(А)=3; В – множество шаров у Тани, число их неизвестно, т.е. п(В) –? У Тани на 1 шар больше, чем у Кати, это значит, что у Тани ша­ров столько же, сколько у Кати, и еще один. Введем в рассмотрение вспомогательные множества: В₁ – множество шаров у Тани, которых было столько же, сколько у Кати, т.е. В₁ ~ А и тогда n(B₁) = п(А)= 3; В₂ – множество шаров у Тани, которых у Кати нет. По условию задачи п(В₂) = 1, т.к. у Тани на 1 шар больше.

Изобразим схематически множества и выразим множество В че­рез вспомогательные множества.

А –

В –

В₁ В₂

В – объединение множеств B₁ и В₂, причем В₁ Ç В₂ = Æ, В = В₁ и В₂, тогда п(В) = п(В₁) + п(В₂) = 3 + 1 = 4.

У Тани было 4 шара.

Эта задача на смысл отношения «больше на...».

2. Пусть А – множество берез в парке, число их равно 7, т.е. п(А) = 7;

В – множество елей в парке, число их надо найти, т.е. п(В) –?

Елей на три меньше, чем берез, т.е. елей столько же, сколько бе­рез, но без трех. Введем в рассмотрение вспомогательные мно­жества:

B₁ – множество елей в парке, которых было бы столько же, сколько берез, т.е. В₁ ~ А, и тогда n(B₁) = п(А) = 7.

В₂ – множество елей, которых в парке нет, т.к. их на 3 меньше, чем берез то п(В₂) = 3, причем В₂Ì B₂.

Изобразим схематически множества и выразим множество В через вспомогательные множества.

 

А –

В₁ –

В В₂

В – разность множеств В₁ и В₂, причем В₂ Ì В₁, т.е. В = В₁\ В₂, тог­да п(В) = п(В₁\В₂) = п(В₁) – п(В₂) = 7 – 3 = 4.

В парке 4 ели.

Эта задача на смысл отношения «меньше на...».

3. Пусть А – множество книг на верхней полке, число их равно 9, т.е. п(А) = 9;

В – множество книг на нижней полке, число их равно 5, т.е. п(В) = 5;

Введем в рассмотрение вспомогательные множества:

А₁ – множество книг на верхней полке, в котором их столько же, сколько на нижней, т.е. A₁ ~ B, и тогда п(А₁) = п(В)= 5;

А₂ – множество книг на верхней полке, которых нет в А₁. Число элементов множества А₂ надо найти, т.е. п(А₂) –?

Изобразим схематически множества и выразим множество А₂ через другие множества.

 

А –

А₁ А₂

В –

А₂ – разность множеств А и А₁, причем А₁ Ì А;

А₂ = А\А₁, тогда п(А₂) = п(А\А₁) = п(А) – п(А₁) = 9 – 5 = 4.

На верхней полке на четыре книги больше, чем на нижней.