Задача 8. а) коммутативность операции умножения;

Доказать свойства:

а) коммутативность операции умножения;

б) дистрибутивность операции умножения относительно сложения.

Решение.

а) Докажем, что (" а, bÎ N₀) а × b = b× а

Дадим теоретико-множественное истолкование числовых выражений, записанных в левой и правой частях этого числового равенства.

Пусть а = п(А); b = п(В), тогда а× b = п (А´ В),

а× b = п (В´ А).

Хотя декартово умножение не коммутативно (вообще говоря, А´ В¹ В´ А), справедливо равенство п(А´ В) = п (В ´ А). Чтобы доказать это, поставим в соответствие каждой паре (х, у) из А´ В пару (у, х) из В ´ А, и наоборот, тогда между множествами A ´ В и В ´ А будет установлено взаимно однозначное соответствие и множества А´ В и В´ А будут равночисленны. Символически это записать так:

~

б) Докажем, что (" а, b, c Î N) а × (b + c) ab +ac;

Дадим теоретико-множественное истолкование числовых выра­жений, записанных в левой и правой частях этого числового раве­нства. Пусть а = п(А); b = п(В); с = п(С), тогда b + с = п(В È С), если В Ç С=Æ, а× (b + с) = п(А ´ (В Ç С)), аb = п (А ´ В); ас = п(А´ С), аb + ас = п((А ´ В) È (А´ С)), если (А´ В) Ç (А´ С) =Æ;.

Имеет место свойство дистрибутивности декартова умножения относительно объединения множеств, т.е.

А ´ (BÈ С) = (А´ B)È (А´ C).

Если множества равны, то и количество элементов их одинаково, т.е.

п(А´ (ВÈ С)) = п((А ´ В)È (А´ С)). Символически это мож­но записать так:

А ´ (В È С) = (А ´ В) È (А ´ С) => п (А´ (В È C) = п((А´ В) È (А ´ С)) => а(b + с) = аb + ас.

В школе используется определение умножения, основанное на понятии суммы одинаковых слагаемых.

______________________________________________________________________

Определение 12. Если а и b – целые неотрицательные числа, то:

a× b = а + а+…+а при b> 1;

b слагаемых

а × 1 = а при b=1

а × 0 = 0 при b = 0.

______________________________________________________________________

Первую строчку определения можно сформулировать так: произ­ведением чисел а и b назовем сумму b слагаемых, каждое из которых равно а. Из данного определения следует, что если множества A₁, А₂,..., А_b имеют по а элементов каждое, причем никакие два из них не пересекаются, то их объединение А₁ È А₂ È... È А_b содержит а × b эле­ментов.

Таким образом, произведение а × b равно числу элементов в объе­динении b множеств, каждое из которых содержит по а элементов, и никакие два из них не пересекаются. Символически это можно запи­сать так:

А₁È А2 È... È А_b = А, причем А_i Ç A_j = Æ, где i ¹ j и i, j =1, 2,..., b

п(А₁) = п(А₂) =... = п(А_b)=a, тогда п(А) = п(А₁ È А₂ È... È А_b) = п(А₁) + п(А₂) +... + п(А_b)= а + а+ +... + а = а× b. В начальном курсе математики определение произведения вво­дится по частям: сначала появляется определение «Сумму одинако­вых слагаемых называют произведением», например, 2 + 2 + 2 + 2 = 2× 4, затем «При умножении любого числа на единицу получается то число, которое умножали», и запись а × 1 = а и, наконец, «Произведе­ние любого числа и нуля считают равным нулю» и запись а × 0 = 0.