ФУНКЦИИ

Функция – одно из важнейших понятий математики.

__________________________________________________________________

Определение 5. Числовой функцией называется такое соответствие между числовым множеством X и множеством действительных чисел R, при котором каждому числу множества X соответствует единственное число из множества R.

_____________________________________________________________________________________________

 

Множество X называют областью определения функции.

Функции принято обозначать буквами f, g, h и др.

Если f – функция на множестве X, то действительное число у соответствующее числу х из множества X, часто обозначают f(х) и пишут у= f(х). Переменную х при этом называют аргументом (или независимой переменной), а у – функцией.

Множество чисел вида f(x) для всех х из множества Х называют областью значений функции f.

Часто функции задают с помощью формул y = f(х), указывающих как по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции.

Иногда при задании функции с помощью формулы ее область определения не указывается. Втаких случаях считают, что областью определения функции является область определения выражения f(x) (множество допустимых значений выражения f(x)).

Кроме формул, функции могут быть заданы:

- при помощи таблицы;

- графически.

Графиком функции у = f(х) с областью определения X является множество таких точек координатной плоскости, которые имеют абсциссу х и ординату f(х) для всех х из множества X.

Не каждое множество точек на координатной плоскости представляет собой график некоторой функции.

Например,

 

 

Линия не является графиком функции.

 

 

Функции могут обладать многими свойствами, одно из которых – монотонность.

__________________________________________________________________

Определение 6. Функция f называется монотонной на некотором промежутке А, если она на этом промежутке возрастает или убывает.

_____________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Определение 7. Функция f называется возрастающей на некото­ром промежутке А, если для любых чисел X₁ и Х₂ из множества А выполняется условие: х, < х₂ => f(x₁) < f(х₂) (большему значению аргумента соответствует большее значение функции).

_____________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Определение 8. Функция f называется убывающей на некотором промежутке А, если для любых чисел x₁, х₂ из множества А вы­полняется условие: x₁ < х₂ = f(x₁) > f(х₂) (большему значению аргу­мента соответствует меньшее значение функции).

____________________________________________________________________________________

Пример 4.

Функция задана аналитически (формулой) у = 2х + 1.

1. Построить график функции, если ее область определена

а) Х = [– 0; 2]; б) Х = {– 2, – 1, 0, 1, …}; в) X = R

2. Исследовать на монотонность

1). Построить график функций:

а) б) в)

2) исследуем функцию на монотонность. Пусть х₁ < х₂ Þ f(x₁)= 2x₁ + 2 и f(x₂) = 2x₂ + 2.

Найдем разность

f(x₁) – f(x₂)= (2x₁ + 2)–(2x₂ + 2) =(2x₁ – 2x₂)+ 2 – 2 = 2 (x₁ – x₂)< 0, т.к. x₁ < x₂;

f(x₁) – f(x₂)< 0Þ f(x₁) < f(x₂)

Получили: x₁ < x₂ Þ f(x₁) < f(x₂), по определению (6) функция у = 2х + 2 возрастающая.

__________________________________________________________________

Определение 9. Прямой пропорциональностью называется функ­ция вида у =kх, где k ¹ 0 и k – действительное число.

_____________________________________________________________________________________________

 

Если отношение двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, их называют прямо пропорциональными. В нашем случае (k ¹ 0), k – коэффициент пропорциональности.

Некоторые свойства прямой пропорциональной зависимости.

1. Областью определения и областью значений функции является множество действительных чисел.

2. Графиком функции является прямая, проходящая через начало координат.

 

3. При k > 0 функция возрастает на всей области определения, при k < 0 – убывает на всей области определения.

4. Если f – прямая пропорциональность и (х₁ у₁), (х₂, у₂) – пары соответственных значений переменных х и у, причем х₁ ¹ 0, то . Если х > 0 и у > 0, то основное свойство прямой пропорциональной зависимости можно сформулировать так: с увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

__________________________________________________________________

Определение 10. Обратной пропорциональностью называет функция вида у = , где к – не равное нулю действительное число.

_____________________________________________________________________________________________

 

Если произведение двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, то эти величины называют обратно пропорциональными.

В нашем случае х × у = k(k¹ 0), k – коэффициент пропорциональности.

Некоторые свойства обратной пропорциональной зависимости

1. Областью определения и областью значений функции множество действительных чисел, отличных от нуля.

2. Графиком функции является гипербола.

 

3. При k > 0 – функция убывающая на всей области определения, при k < 0 – функция возрастающая на всей области определения.

4. Если f – обратная пропорциональность и (х₁, у₁), (х₂, у₂) - пары соответственных значений переменных х и у, то . Если х > 0 и у > 0, то основное свойство обратной пропорциональной зависимости, сформулировать можно так: с увеличением (уменьшением) значения аргумента х в несколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

___________________________________________________________________

Определение 11. Функция, которая может быть задана при помо­щи формулы у = kх + с, называется линейной, k ¹ 0.

______________________________________________________________________________________________

 

Некоторые ее свойства:

1. Областью определения и областью значений функции является множество действительных чисел.

2. Графиком является прямая, пересекающая ось ОY в точке с ординатой с.

3. При k > 0 функция возрастает на всей области определения, при k < 0 – убывает на всей области определения.