Вычисление собственных чисел методом Данилевского
В данной практической работе для поиска собственных чисел и векторов мы будем использовать метод Данилевского. Суть его состоит в том, что исходная матрица A преобразуется в подобную ей матрицу Фробениуса P, имеющую следующий вид:
Делается это при помощи следующего преобразования подобия:
где Таким образом, можно последовательно находить n–1 матрицу A(k):
А можно найти матрицы S (прямую и обратную) и затем сразу вычислить P по формуле (2.3.6). Такой способ эффективнее, т.к. не нужно хранить множество матриц M, произведение которых еще понадобятся для вычисления собственных векторов. Матрицы M строятся следующим образом:
Несложно доказать, что у подобных матриц собственные числа совпадают. Далее для матрицы P строится характеристический полином D(λ) = det(P – λ E) = (–1)n[λ n – p1λ n–1 – p2λ n–2 – … – pn]. (2.3.10) Это полином степени n. Очевидно, что он имеет n корней λ 1, λ 2, …, λ n. Некоторые из них могут быть кратными, при этом выполняется соотношение (2.3.2). Необходимо не только найти все корни полинома, но и определить их кратность (см. п. 2.3.1.3).
|
(2.3.6)
(2.3.7)
(2.3.8)
(2.3.9)
