Метод Гаусса. Прямой ход (преобразование матрицы к треугольному виду):
Прямой ход (преобразование матрицы к треугольному виду):
Здесь k = 1, 2, …, n, i = k + 1, k + 2, …, n, j = k + 1, k + 2, …, n. Значения 1 и 0, которые используются в виде констант, можно получить и по общим формулам, но это приведет к ненужным погрешностям. После прямого хода СЛАУ примет следующий вид:
Из анализа (2.2.7) очевидны формулы для обратного хода (получения решения СЛАУ):
Определитель исходной матрицы A можно вычислить по формуле
Во всех формулах подразумевается, что Метод Гаусса обладает следующим недостатком. Если обратить внимание на формулу (2.2.5), то видно, что в ней происходит операция деления на диагональные элементы матриц A(k). Если в процессе решения требуемый диагональный элемент получится равным нулю, то этот метод даст сбой, даже если условие (2.2.4) выполняется. В этом случае требуется перестановка строк исходной матрицы A (и соответствующих элементов вектора b). В данной практической работе делать этого не требуется, т.к. алгоритм значительно усложняется (учитывая количество вариантов перестановки).
|
(2.2.5)
(2.2.6)
(2.2.7)
(2.2.8)
(2.2.9)
.
