Интервальные методы
Методы дихотомии, хорд и золотого сечения являются интервальными, т.е. их смысл заключается в уменьшении исходного интервала, содержащего корень, до тех пор, пока размеры интервала не окажутся соизмеримы с требуемой погрешностью. Для этих методов интервалом поиска корня на некоторой k-й итерации будет являться отрезок [ak, bk], при этом a0 = a, b0 = b. Длина интервала в интервальных методах гарантированно уменьшается на каждой итерации решения, поэтому альтернативой условию (2.1.3) будет, очевидно, условие
т.к. погрешность определения корня не может превышать половины длины интервала. В методе дихотомии интервал разбивается следующим образом. Вычисляется точка, расположенная в середине отрезка:
Далее, согласно (2.1.2), проверяется, какому из интервалов – [ak, сk] или [сk, bk] – принадлежит корень. Т.е.,
В качестве k-го приближения корня берется точка
В методе хорд интервал разбивается другой точкой:
Выбор интервала осуществляется согласно (2.1.7), а новое приближение корня совпадает с точкой ck (xk = ck). Однако, в отличие от других интервальных методов, в методе хорд постоянное уменьшение длины интервала не гарантировано, поэтому погрешность рассчитывается по формуле итерационных методов (2.1.13). В методе золотого сечения интервал разбивается двумя симметричными относительно границ интервала точками:
где Для упрощения вычислений можно учесть упомянутую симметричность расположения точек ck и dk: ck – ak = bk – dk. (2.1.11) Далее, согласно (2.1.2), проверяется, какому из интервалов – [ak, dk] или [сk, bk] – принадлежит корень. Т.е.,
Новое приближение корня вычисляется по формуле (2.1.8).
|
(2.1.5)
(2.1.6)
(2.1.7)
(2.1.8)
(2.1.9)
(2.1.10)
(2.1.12)
